`a)` Vì $EF$ là đường trung trực của $OM$ (gt)

`=>OE=ME; OF=MF`

Mà $OE =O F=R$

`=>OE=ME=OF=MF`

`=>OEMF` là hình thoi

$\\$

`b)` `OEMF` là hình thoi (c/m trên) và `E F` cắt $OM$ tại $I$ (gt)

`=>E F$\perp OM$ tại trung điểm $I$ của `OM`

`=>OI={OM}/2=R/2`

$\\$

Xét $∆SOE$ vuông tại $E$ có $EI\perp OS$

`=>OE^2=OI.OS` (hệ thức lượng)

`=>OS={OE^2}/{OI}={R^2}/{R/2}=2R`

$\\$

`\qquad ES^2+OE^2=OS^2` (định lý Pytago)

`=>ES^2=O S^2-OE^2=(2R)^2-R^2=3R^2`

`=>E S=\sqrt{3R^2}=R\sqrt{3}`

$\\$

Ta có: $OE=O F=R$

`=>∆OE F` cân tại $O$

Vì $OI\perp EF$

`=>OI` vừa là đường cao và phân giác $∆OE F$

`=>\hat{FOI}=\hat{EOI}`

`=>\hat{FOS}=\hat{EO S}`

$\\$

Xét $∆SOF$ và $∆SO E$ có:

`\qquad OS` là cạnh chung 

`\qquad \hat{FOS}=\hat{EO S}` (c/m trên)

`\qquad OF=OE=R`

`=>∆SO F=∆SOE` (c-g-c)

`=>\hat{SOF}=\hat{SOE}=90°`

`=>SF`$\perp OF$

`=>SF` là tiếp tuyến tại $F$ của $(O)$ (đpcm)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Vì EF là đường trung trực của OM (gt)

⇒OE=ME;OF=MF

Mà OE=OF=R

⇒OE=ME=OF=MF

⇒OEMF là hình thoi

b)OEMF là hình thoi (c/m trên) và EF cắt OM tại I (gt)

`=>E F⊥OM tại trung điểm I của OM

⇒OI=OM2=R2

Xét ∆SOE vuông tại E có EI⊥OS

⇒OE2=OI.OS (hệ thức lượng)

⇒OS=OE2OI=R2R2=2R

    ES2+OE2=OS2 (định lý Pytago)

⇒ES2=OS2-OE2=(2R)2-R2=3R2

⇒ES=√3R2=R√3

Ta có: OE=OF=R

⇒∆OEF cân tại O

Vì OI⊥EF

⇒OI vừa là đường cao và phân giác ∆OEF

⇒^FOI=^EOI

⇒^FOS=^EOS

Xét ∆SOF và ∆SOE có:

    OS là cạnh chung 

    ^FOS=^EOS (c/m trên)

    OF=OE=R

⇒∆SOF=∆SOE (c-g-c)

⇒^SOF=^SOE=90°

⇒SF⊥OF

⇒SF là tiếp tuyến tại F của (O) (đpcm)