Bài `1` :

`a)`

Ta có:

Tam giác `ABC` cân tại `A`

Suy ra:

`AB = AC`, góc `B` = góc `C` (T/c tam giác cân)

Xét tam giác `AED` và tam giác `AFD`

Có góc `AED` = góc `AFD = 90^o`

Có góc `BAD` = góc `CAD` (gt)

`-> AD` chung.

Suy ra:

Tam giác `AED` = tam giác `AFD` (c-h.g-n)

Suy ra:

`DE = DF`

Suy ra:

`D` thuộc đường trung trục của `EF`                      `(1)`

Mà:

`AB = AC` vậy `A` thuộc đường $TT$ của `EF`         `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra `AD` là đường trung trực của `EF`

`b)`

Xét tam giác `ABD` và tam giác `ACD`

`-> AD` chung.

Góc `BAD` = góc `CAD` (gt)

`AB = AC` (gt)

Suy ra:

Tam giác `ABD` = tam giác `ACD` (c.g.c)

Suy ra:

`BD = DC` (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác `EDB` và tam giác `GDC`

Ta có:

`BD = DC` (cmt)

Góc `EDB` = góc `CDG` (đối đỉnh)

`ED = DG` (gt)

Suy ra: 

Tam giác `EDB` =  tam giác `GDC` (c.g.c)

Suy ra:

Góc `DEB` = góc `CGD`

Mà:

Góc `DEB = 90^o`

Suy ra:

Góc `CGD = 90^o`

Suy ra:

Tam giác `EGC` vuông tại `G`

Bài `2` :

`a)`

`ABCD` là hình chữ nhật

`→ AB = CD, AD = BC` (t/c HCN)

Mà:

`E` là trung điểm của `AB, F` là trung điểm của `DC , AB = 2AD` (gt)

`→ AE = BE = AD = DF = FC = BC`

Xét tứ giác `AEFD` có AE // DF (vì AB // CD)

`AE = DF` (cmt)

`→ AEFD` là hình bình hành

Lại có góc `A = 90^o → AEFD` là hình chữ nhật

Xét hình chữ nhật AEFD có:

`AD = AE` (cmt)

`→ AEFD` là hình vuông 

`→` Hai đường chéo `AF =  DE` , cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ,vuông góc với nhau và là phân giác của góc `E`.

Mà:

`DE` giao `AF` tại `M`

`→ EM = FM`

`→` Góc `AED` = góc `DEF = 45^o`                     `(1)`

`→` Góc `EMF = 90^o`

Tương tự, chứng minh:

`EBCF` là hình vuông.

`→` Góc `ENF = 90^o`                                            `(2)`

`→` Góc `NEF = 45^o`

Từ `(1)` và `(2)`

`→` Góc `NEM = 90^o`

Tứ giác EMFN có:

`NEM = ENF = EMF = 90^o`

`→` Tứ giác `EMFN` là hình chữ nhật

Mà:

`EM = FM`

`→` Tứ giác `EMFN` là hình vuông

Bài 1)

Vì tam giác ABC cân tại A suy ra AB= AC, góc B= góc C ( T/c tam giác cân)

Xét tam giác AED và tam giác AFD

có góc AED=góc AFD = 90⁰

góc BAD = góc CAD (GT)

AD chung

suy ra tam giác AED = tam giác AFD (cạnh huyền-góc nhọn)

suy ra DE = DF suy ra D thuộc đường trung trục của EF (1)

Mà AB=AC suy ra A thuộc đường TT của EF (2)

từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của EF

b) Xét tam giác  ABD và tam giácACD

có AD chung

góc BAD = góc CAD (GT)

AB=AC (GT)

suy ra tam giác  ABD = tam giác ACD (c.g.c)

suy ra BD = DC (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác EDB và tam giác GDC

có BD=DC (CMT)

góc EDB = góc CDG (đối đỉnh)

ED = DG (GT)

suy ra tam giác EDB =  tam giác GDC (c.g.c)

suy ra góc DEB = góc CGD

mà góc DEB = 90⁰

suy ra góc CGD = 90⁰

suy ra tam giác EGC vuông tại G