Giải thích các bước giải :

`f)x^8+x+1`
`=x^8-x^2+x^2+x+1`
`=x^2(x^6-1)+x^2+x+1`
`=x^2(x^3-1)(x^3+1)+x^2+x+1`
`=x^2(x^3+1)(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)`
`=(x^2+x+1)[x^2(x^3+1)(x-1)+1]`
`=(x^2+x+1)(x^6-x^5+x^3-x^2+1)`
`g)x^8+x^7+1`
`=x^8-x^2+x^7-x+x^2+x+1`
`=x^2(x^6-1)+x(x^6-1)+x^2+x+1`
`=x^2(x^3-1)(x^3+1)+x(x^3-1)(x^3+1)+x^2+x+1`
`=x^2(x^3+1)(x-1)(x^2+x+1)+x(x^3+1)(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)`
`=(x^2+x+1)[x^2(x^3+1)(x-1)+x(x^3+1)(x-1)+1]`
`=(x^2+x+1)(x^6-x^4+x^3-x+1)`
`h)x^8+3x^4+1`
`=x^8+2x^4+1+x^4`
`=(x^4+1)+x^4`
`>=1+0=1>0`
`->`Vô nghiệm. Không thể phân tích
`k)(`Coi như làm câu `h)`
`x^4+4y^4`
`=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2`
`=(x^2-2y^2)-(2xy)^2`
`=(x^2-2xy-2y^2)(x^2+2xy-2y^2)`

`f)`

`x^8 + x + 1`

` = x^8 - x^2 + (x^2 + x + 1)`

`= x^2 (x^6 - 1) + (x^2 + x+1)`

` = x^2 (x^3 + 1)(x^3 - 1) + (x^2 + x+1)`

` = x^2 (x^3 + 1 )(x-1)(x^2 + x+1) + (x^2 + x+1)`

` = (x^2 + x+1) [ x^2 (x^3 + 1) (x-1)  + 1]`

` = (x^2 + x + 1)[ (x^5 + x^2)(x-1) + 1]`

` = (x^2 + x+1) (x^6 - x^5 + x^3 - x^2 + 1)`

`->` Đa thức có dạng `x^{3m+1} + x^{3n+2} + 1 (m ; n \in ZZ)` khi phân tích thành nhân tử thì chứa nhân tử `x^2 + x + 1`

`g)`

`x^8 + x^7  +1`

` = (x^8 - x^2) + (x^7 - x) + (x^2 + x + 1)`

` = x^2 (x^6 - 1) + x (x^6 - 1) + (x^2 + x+1)`

` = (x^2 + x)(x^6 -1) + (x^2 + x+1)`

` = (x^2 + x) (x^3 + 1)(x^3-1) + (x^2 + x+1)`

` = (x^2 + x)(x^3+1)(x-1)(x^2+x+1) + (x^2+x+1)`

` = (x^2 + x+1) [ (x^2 +x)(x^3+1)(x-1)  +1]`

` = (x^2+x+1) [ (x^5 + x^2 + x^4 +x)(x-1) + 1]`

` = (x^2+x+1) (x^6 - x^5 + x^3 - x^2 + x^5 - x^4 + x^2 - x +1)`

` = (x^2+x+1)(x^6 - x^4 + x^3 - x+1)`

`->` Đa thức có dạng `x^{3m+1} + x^{3n+2} + 1 (m ; n \in ZZ)` khi phân tích thành nhân tử thì chứa nhân tử `x^2 + x + 1`

`h)`

`x^8+  3x^4 +1`

Ta thấy, đa thức đã cho có hệ số nguyên nhưng không có nghiệm nguyên. Nếu đa thức có thể phân tích thành nhân tử thì sẽ có nghiệm hữu tỉ, nghiệm hữu tỉ này phải có dạng `q/p (p;q \in ZZ)`

Trong đó : `p` là ước của hạng tử tự do và `q` là ước của hạng tử có bậc cao nhất.

Ta thấy, `p` là ước của hạng tử tự do 

`-> p` là ước của `1`

`-> p \in {1;-1}`

Nếu `p=1` thì `q/p = q/1 =q`, là một số nguyên 

`->` Đa thức đã cho có nghiệm nguyên, trái với giả thiết `-> p \ne 1`

Nếu `p=-1` thì `q/p = q/(-1) = -q`, là một số nguyên

`->` Đa thức đã cho có nghiệm nguyên, trái với giả thiết `-> p \ne -1`

Do đó, đa thức đã cho không thể phân tích thành nhân tử.

----

`x^8 + 3x^4 + 1`

`\forall x` ta có :

`x^8 \ge 0`

`3x^4\ge 0`

`=> x^8 + 3x^4 \ge 0`

`=> x^8  + 3x^4  +1 \ge 1 >0`

`=> x^8 + 3x^4 + 1 >0`

`=> x^8  +3x^4+1` không có nghiệm.

`=>` đa thức `x^8 + 3x^4+ 1` không thể phân tích thành nhân tử.