a)

Vì $\triangle$ABC cân tại A có AM là trung tuyến (theo GT)

`=>` AM là đường phân giác và đường cao

`=>` AM là tia phân giác của `hat{ABC}` và AM$\bot$BC(đpcm)

b)

Vì AC$\parallel$BC (theo GT)

`=>` `hat{MAC}`=`hat{MDB}` ( cặp góc sole trong)

Vì AM là tia phân giác của `hat{ABC}`(cmt)

`=>` `hat{MAB}`=`hat{MAC}`

`=>` `hat{MAB}`=`hat{MDB}`

`=>` `hat{BAD}`=`hat{BDA}`

`=>` $\triangle$ ABD cân tại B(đpcm)

c)

Vì AC$\parallel$BC (theo GT)

`=>` `hat{ACB}`=`hat{MBD}` ( cặp góc sole trong)

Vì $\triangle$ ABC cân tại A (theo GT)

`=>` `hat{ABC}`=`hat{ACB}`

`=>` `hat{ABC}`=`hat{MBD}`

`=>` BM là phân giác của $\triangle$ABD

Mà $\triangle$ABD cân tại B (cmt)

`=>` BM là trung tuyến ứng với cạnh AD của $\triangle$ABD

Xét $\triangle$ ABD có:

+ DP là trung tuyến ứng với cạnh AB ( P là trung điểm AB)

+ BM là trung tuyến ứng với cạnh AD (cmt)

+ O là giao điểm DP và BM (theo GT)

`=>` O là trọng tâm của $\triangle$ ABD

`=>` OD= $\frac{2}{3}$ PD

`=>` OD=2 OP(đpcm)

d)

Vì OD=2 OP (cmt)

`=>` OD=OP+ON=ON

`=>` O là trung điểm DN

Xét $\triangle$ADN có:

+ O là trung điểm DN(cmt)

+ M là trung điểm AD( BM là trung tuyến)

`=>` OM là đường trung bình của $\triangle$ADN

`=>` OM=$\frac{1}{2}$ AN

`=>` NA=2 OM(đpcm)

Vậy bài toán được chứng minh