Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin x \ne 0\\ \cos x \ne 0 \end{array} \right. \Rightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}$

$\begin{array}{l}
2{\tan ^2}x + 3\tan x + 2{\cot ^2}x + 3\cot x + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow 2\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right) + 3\left( {\tan x + \cot x} \right) + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow 2{\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} - 4\tan x\cot x + 3\left( {\tan x + \cot x} \right) + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow 2{\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} + 3\left( {\tan x + \cot x} \right) - 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x + \cot x = \dfrac{1}{2}\\
\tan x + \cot x =  - 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} = \dfrac{1}{2}\\
\tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} =  - 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2{\tan ^2}x + 2 = \tan x\\
{\tan ^2}x + 2\tan x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2{\tan ^2}x - \tan x + 2 = 0(PTVN)\\
{\left( {\tan x + 1} \right)^2} = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \tan x =  - 1\\
 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\\

\end{array}$

$\begin{array}{l}
 - \dfrac{\pi }{4} < \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi  \le \dfrac{{23\pi }}{4}\\
 \Rightarrow  - \dfrac{1}{4} <  - \dfrac{1}{4} + k \le \dfrac{{23}}{4}\\
 \Leftrightarrow 0 < k \le 6\\
 \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\\
 \to \text{ 6 giá trị}
\end{array}$

Đáp án- Giải thích các bước giải: ĐK sinx $\neq$ 0 và cosx $\neq$ 0

PT ⇔ 2$(tan x)^{2}$ + 3tanx +1 = -2 $(cot x)^{2}$ -3cotx -1

⇔ ( 2tanx +1) (tan x+1) = - (2cotx+1) (cotx+1)

⇔$\frac{2tanx+1}{2cotx+1}$ = -$\frac{cotx+1}{tanx+1}$   ta có tanx= sinx/cosx; cotx= cosx/sinx thay vào PT

⇔ $\frac{2sinx+cosx}{cosx}$ : $\frac{2cosx+sinx}{sinx}$ = - $\frac{cosx+sinx}{sinx}$ : $\frac{sinx+cosx}{cosx}$ 

⇔$\frac{2sinx+cosx}{2cosx+sinx}$ x $\frac{cosx}{sinx}$ = - $\frac{cosx}{sinx}$ 

⇔2sinx+cosx= -2cosx- sinx

⇔sinx= -cosx

⇔ x= $\frac{-π}{4}$ +kπ (với k ∈ Z)

Với khoảng điều kiên đề bài cho thì k∈ {1;2;3;..;6}

Vậy phương trình có 6 nghiệm .

Đây là bước làm bạn có thể làm lại để xem tính đúng đắn và hiểu bài hơn