Đáp án:

$S_{tp}= 144\pi$

Giải thích các bước giải:

Gọi hình nón $(N)$ đỉnh $S,$ có $O$ là tâm đường tròn đáy là hình nón thoả mãn đề bài

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua trục và cắt đường tròn đáy tại hai điểm $A, B$

$\Rightarrow SAB$ là thiết diện đi qua trục

$\Rightarrow \triangle SAB$ đều

$\Rightarrow \begin{cases}SA = SB = AB\\OA = OB =\dfrac12AB\\SO =\dfrac{AB\sqrt3}{2} = OA\sqrt3\end{cases}$

Từ $O$ kẻ $OH\perp SA$

$\Rightarrow OH = 6$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SOA$ vuông tại $O$ đường cao $OH$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{SO^2} +\dfrac{1}{OA^2}$

$\Leftrightarrow OH =\dfrac{SO.OA}{\sqrt{SO^2 + OA^2}}$

$\Leftrightarrow 6 = \dfrac{OA\sqrt3.OA}{\sqrt{3OA^2 + OA^2}}$

$\Leftrightarrow OA = 4\sqrt3$

$\Rightarrow \begin{cases}SA = AB = 2OA = 8\sqrt3\\SO = OA\sqrt3 = 12\end{cases}$

Ta được:

$h = SO = 12$

$l = SA = SB =  8\sqrt3$

$r = OA = OB = 4\sqrt3$

Diện tích toàn phần hình nón:

$S_{tp}= \pi rl + \pi r^2 = 144\pi$