a)

Xét tứ giác $AEHF$ có:

$\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{EAF}=90{}^\circ $

$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật

b)

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta AHB$ có:

$\widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90{}^\circ $, $\widehat{BAH}$ chung

$\Rightarrow \Delta AEH\backsim\Delta AHB\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\Rightarrow A{{H}^{2}}=AB.AE$ $\left( 1 \right)$

Xét $\Delta AFH$ và $\Delta AHC$ có:

$\widehat{AFH}=\widehat{AHC}=90{}^\circ $, $\widehat{CAH}$ chung

$\Rightarrow \Delta AFH\backsim\Delta AHC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow A{{H}^{2}}=AF.AC$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow AB.AE=AF.AC$

c)

Gọi $G$ là giao điểm $AI$ và $EF$

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ACB$, ta có:

$\widehat{BAC}$ chung, $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}$ (vì $AE.AB=AF.AC$)

$\Rightarrow \Delta AEF\backsim\Delta ACB\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ACB}$

Lại có $\widehat{AGE}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

Nên $\Delta GAE\backsim\Delta ABC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \widehat{GAE}=\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \Delta IAB$ cân tại $I$$\Rightarrow IA=IB$

Chứng minh hoàn toàn tương tự:

$\Delta IAC$ cân tại $I$ $\Rightarrow IA=IC$

$\Rightarrow IB=IC\Rightarrow I$ là trung điểm $BC$

d)

Nếu ${{S}_{\Delta ABC}}=2{{S}_{AEHF}}$

$\Leftrightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=2AE.AF$

$\Leftrightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=4\cdot \dfrac{1}{2}AE.AF$

$\Leftrightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=4{{S}_{\Delta AFE}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{\Delta AFE}}}=4$

Mà $\Delta ABC\backsim\Delta AFE\left( cmt \right)$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{\Delta AFE}}}={{\left( \dfrac{AB}{AF} \right)}^{2}}=4$

$\Leftrightarrow AB=2AF$

Mà $AF=HE$ (do $AEHF$ là hình chữ nhật)

Nên $AB=2HE$

$\Leftrightarrow HE=\dfrac{1}{2}AB$

Trong $\Delta AHB$ vuông tại $H$ có $HE$ là đường cao

Mà $HE=\dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow \Delta AHB$ vuông cân tại $H$

$\Rightarrow \widehat{ABH}=45{}^\circ $

Mà $\Delta ABC$ lại vuông tại $A$

Nên $\Delta ABC$ sẽ vuông cân tại $A$

Vậy nếu ${{S}_{\Delta ABC}}=2{{S}_{AEHF}}$ thì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$