Đáp án:

Bài 1 chứng minh

Bài 2 : $n =$ {$15 , 53$}

Giải thích các bước giải:

Bài 1 : $x , y ∈ Z$

Ta có : $x^{3} + y^{3} = ( x + y )( x^{2} - xy + y^{2} )$

⇔ $x^{3} + y^{3} = [ ( x - 2y ) + 3y ][ ( x^{2} - 4xy + 4y^{2} ) + ( 3xy - 3y^{2} ) ]$

⇔ $x^{3} + y^{3} = [ ( x - 2y ) + 3y ][ ( x - 2y )^{2} + 3y( x - y ) ]$

⇔ $x^{3} + y^{3} = ( x - 2y )^{3} + 9y^{2}( x - y )$ (*)

Vì $x - 2y$ chia hết cho $3$

⇒ $( x - 2y )^{3}$ chia hết cho $3^{3}$

⇔ $( x - 2y )^{3}$ chia hết cho $27$

Mà $27$ chia hết cho $9$

⇒ $( x - 2y )^{3}$ chia hết cho $9$ (1)

Vì $9$ chia hết cho $9$

⇒ $9y^{2}( x - y )$ chia hết cho $9$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ (*) chia hết cho $9$

hay $x^{3} + y^{3}$ chia hết cho $9$ với $∀ x , y ∈ Z / x - 2y$ $\vdots$ $3$

Bài 3 :

Để $A$ là số chính phương

Ta đặt $A = k^{2}$ $( n ∈ N ⇒ k ∈ Z )$

⇔ $n^{2} + 4n + 115 = k^{2}$

⇔ $( n^{2} + 4n + 4 ) + 111 = k^{2}$

⇔ $( n + 2 )^{2} + 111 = k^{2}$

⇔ $k^{2} - ( n + 2 )^{2} = 111$

⇔ $( k + n + 2 )( k - n - 2 ) = 111 = (±1).(±111) = (±111).(±1) = (±3).(±37) = (±37).(±3)$

TH1 : $\left \{ {{k+n+2=1} \atop {k-n-2=111}} \right.$ 

⇔ $k = 56 , n = - 57$ ( loại do $n ∈ N$ )

TH2 : $\left \{ {{k+n+2=-1} \atop {k-n-2=-111}} \right.$ 

⇔ $k = - 56 , n = 53$ (TM)

TH3 : $\left \{ {{k+n+2=111} \atop {k-n-2=1}} \right.$

⇔ $k = 56 , n = 53$ (TM)

TH4 :  $\left \{ {{k+n+2=-111} \atop {k-n-2=-1}} \right.$ 

⇔ $k = - 56 , n = - 57$ ( loại do $n ∈ N$ )

TH5 : $\left \{ {{k+n+2=3} \atop {k-n-2=37}} \right.$ 

⇔ $k = 20 , n = - 19$ ( loại do $n ∈ N$ )

TH6 : $\left \{ {{k+n+2=-3} \atop {k-n-2=-37}} \right.$

⇔ $k = - 20 , n = 15$ (TM)

TH7 :  $\left \{ {{k+n+2=37} \atop {k-n-2=3}} \right.$ 

⇔ $k = 20 , n = 15$ (TM)

TH8 : $\left \{ {{k+n+2=-37} \atop {k-n-2=-3}} \right.$ 

⇔ $k = - 20 , n = - 19$ ( loại do $n ∈ N$ )

Kết hợp các trường hợp ⇒ $n =$ {$15 , 53$}