Đáp án:

`m\in {-1;1}` 

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của `y=x^2` và `y=mx+4` là:

`\qquad x^2=mx+4`

`<=>x^2-mx-4=0``\quad (1)`

Ta có: `a=1;b=-m;c=-4`

`∆=b^2-4ac`

`=(-m)^2-4.1.(-4)^2=m^2+16\ge 16>0` với mọi `m`

`=>` Phương trình `(1)` luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với mọi `m`

`=>`Đồ thị hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt `A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)`

Vì `A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)` thuộc đồ thị hàm số `y=mx+4`

`=>y_1=mx_1+4`

`\qquad y_2=mx_2+4`

$\\$

Theo hệ thức Viet ta có: 

$\quad \begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m\\x_1+x_2=\dfrac{c}{a}=-4\end{cases}$

Để `y_1^2+y_2^2=7^2`

`<=>(mx_1+4)^2+(mx_2+4)^2=49`

`<=>m^2x_1^2+8mx_1+16+m^2x_2^2+8mx_2+16=49`

`<=>m^2 (x_1^2+x_2^2)+8m(x_1+x_2)+16+16-49=0`

`<=>m^2.[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]+8m(x_1+x_2)-17=0`

`<=>m^2 .[m^2-2.(-4)]+8m.m-17=0`

`<=>m^4+8m^2+8m^2-17=0`

`<=>m^4+17m^2-m^2-17=0`

`<=>m^2(m^2+17)-(m^2+17)=0`

`<=>(m^2+17)(m^2-1)=0`

`<=>m^2-1=0` (vì `m^2+17\ge 17>0` với mọi `m`)

`<=>m^2=1<=>`$\left[\begin{array}{l}m=1\\m=-1\end{array}\right.$

Vậy `m\in {-1;1}` thỏa mãn đề bài