a) + Có: ΔABC cân tại A (gt)

⇒ $\begin{cases} \text{AB = AC (đ/n)}\\\widehat{ABC} = \widehat{ACB} (t/c) \ \end{cases}$

+ Xét ΔABC có:

BD là tia phân giác $\widehat{ABC}$ (gt)

⇒ $\dfrac{AD}{DC}$ = $\dfrac{AB}{BC}$ (Tính chất tia phân giác trong tam giác)

+ Xét ΔACB có:

CE là tia phân giác $\widehat{ACB}$ (gt)

⇒ $\dfrac{AE}{EB}$ = $\dfrac{AC}{BC}$ (Tính chất tia phân giác trong tam giác)

$+ Có:\left.\begin{matrix} \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{BC} (cmt)\\\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AC}{BC} (cmt)\\ AB = AC (cmt) \end{matrix}\right\}=> \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AE}{EB}$

+ Xét ΔABC có:

$\dfrac{AD}{DC}$ = $\dfrac{AE}{EB}$ (cmt)

⇒ ED //  BC (Định lí Talet đảo)

⇒ Tứ giác BEDC là hình thang (đ/n)

mà $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB} $ (cmt)

⇒ BEDC là hình thang cân (đ/n)

b) + Có: BEDC là hình thang cân (gt)

⇒ BE = DC (t/c)

+ Lại có: $\dfrac{AD}{DC}$ = $\dfrac{AB}{BC}$ (cmt)

⇒ AD = $\dfrac{AB.DC}{BC}$

+ Xét ΔABC có:

ED // BC (cmt)

⇒ $\dfrac{ED}{BC}$ = $\dfrac{AD}{AC}$

⇒ ED = $\dfrac{AD.BC}{AC}$

Mà AD = $\dfrac{AB.DC}{BC}$ (cmt)

⇒ ED = $\dfrac{AB.DC}{BC}$ . $\dfrac{BC}{AC}$ 

Mà AB = AC (cmt)

⇒ ED = $\dfrac{AB.DC}{BC}$ . $\dfrac{BC}{AB}$ = DC.

$+ Có:\left.\begin{matrix} ED =\dfrac{AB.DC}{BC} . \dfrac{BC}{AB} = DC.\\BE = DC\\ \end{matrix}\right\}⇒ ED = BE = DC (đpcm)$

c) + Xét ΔDBC và ΔECB có:

$\left.\begin{matrix} \widehat{DCB} = \widehat{EBC}(cmt)\\DC = EB (cmt)\\ BC chung \end{matrix}\right\}⇒ ΔDBC = ΔECB(c-g-c)$

⇒ $\widehat{DBC}$ = $\widehat{ECB}$ (2 góc tương ứng)

⇒ ΔBOC cân tại O (t/c)

+ Xét ΔBOC cân tại O (cmt) có:

   I là trung điểm BC (gt)

⇒ OI là đường trung tuyến của ΔBOC 

⇒ OI là đường cao của ΔBOC (t/c)

⇒ OI ⊥ BC tại I (1)

+ Có: ED // BC (cmt)

          $\widehat{DEC}$ và $\widehat{ECB}$ ở vị trí so le trong

⇒ $\widehat{DEC}$ = $\widehat{ECB}$ (t/c 2 đường thẳng song song)

+ Lại có: ED // BC (cmt)

              $\widehat{EDB}$ và $\widehat{DBC}$ ở vị trí so le trong

⇒ $\widehat{EDB}$ = $\widehat{DBC}$ (t/c 2 đường thẳng song song)

+ Có:

$\widehat{DEC}$ = $\widehat{ECB}$ (cmt)

$\widehat{EDB}$ = $\widehat{DBC}$ (cmt)

$\widehat{DBC}$ = $\widehat{ECB}$ (cmt)

⇒ $\widehat{DEC}$ = $\widehat{EDB}$

⇒ ΔOED cân tại O (t/c)

+ Xét ΔOED cân tại O (cmt) có:

 J là trung điểm ED (gt)

⇒ OJ là trung tuyến của ΔOED

⇒ OJ là đường cao của ΔOED cân tại O (t/c)

⇒ OJ ⊥ ED tại J (2)

+ Có: OI ⊥ BC tại I (cmt)

         OJ ⊥ ED tại J (cmt)

         ED // BC (cmt)

⇒ O, I, J thẳng hàng (1)

+ Xét ΔABC cân tại A có:

AI là đường trung tuyến của ΔABC 

⇒ AI là đường cao của ΔABC cân tại A (t/c)

⇒ A, I thẳng hàng (2)

Từ (1), (2) ⇒ A, I, O, J thẳng hàng

@tryphena

----------------------------------- CHÚC BẠN HỌC TỐT -------------------------------------------

`a)`

vì `ΔABC` cân tại `A`

`⇒hat{ABC}=hat{ACB}(` tính chất `Δ` cân `)(1)`

Vì `BD` là tia phân giác của `hat{ABC}`

`⇒hat{B_1}=hat{B_2}=hat{ABC}/2(2)`

Vì `CE` là tia phân giác của `hat{ACB}`

`⇒hat{C_1}=hat{C_2}=hat{ACB}/2(3)`

Từ `(1),(2)` và `(3)⇒hat{B_1}=hat{B_2}=hat{C_1}=hat{C_2}`

Xét `ΔABD` và `ΔACE` có:

         `hat{A}:chung`

        `AB=AC(g``t)`

        `hat{B_1}=hat{C_1}(cmt)`

`⇒ΔABD=ΔACE(g.c.g)`

`⇒AD=AE(2` cạnh tương ứng `)`

`⇒ΔAED` cân tại `A`

`⇒hat{AED}=(180^o-hat{A})/2(4)`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`⇒hat{ABC}=(180^o-hat{A})/2(5)`

Từ `(4)` và `(5)⇒hat{AED}=hat{ABC}`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị

`⇒ED////BC`

Xét tứ giác `BEDC` có:

      `ED////BC(cmt)`

`⇒` tứ giác `BEDC` là hình thang `(` dấu hiệu nhận biết hình thang `)`

Mà `hat{ABC}=hat{ACB}(cmt)`

`⇒BEDC` là hình thang cân `(` hình thang có `2` góc kề `1` đáy bằng nhau là hình thang cân `)(đpcm)`

`b)`

Vì `ED////BC(cmt)`

`⇒hat{D_1}=hat{B_2}(2` góc so le trong `)`

Mà `hat{B_1}=hat{B_2}(g``t)`

`⇒hat{D_1}=hat{B_1}`

`⇒ΔBDE` cân tại `E`

`⇒BE=ED(` tính chất `Δ` cân `)(6)`

Vì `BEDC` là hình thang cân

`⇒BE=DC(` tính chất hình thang cân `)(7)`

Từ `(6)` và `(7)⇒BE=ED=DC(đpcm)`

`c)`

Xét `ΔABC` cân tại `A` có `AI` là đường trung tuyến

`⇒AI` đồng thời là đường phân giác của `ΔABC`

`⇒AI` là đường phân giác của `hat{BAC}(8)`

Ta có:`hat{B_2}=hat{C_2}(cmt)`

`⇒ΔOBC` cân tại `O`

`⇒OB=OC(` tính chất `Δ` cân `)`

Xét `ΔABO` và `ΔACO` có:

         `AB=AC(g``t)`

         `AO:chung`

         `OB=OC(cmt)`

`⇒ΔABO=ΔACO(c.c.c)`

`⇒hat{OAB}=hat{OAC}(2` góc tương ứng `)`

`⇒AO` là đường phân giác của `hat{BAC}(9)`

Xét `ΔAED` cân tại `A` có `AJ` là đường trung tuyến

`⇒AJ` đồng thời là đường phân giác của `ΔAED`

`⇒AJ` là đường phân giác của `hat{BAC}(10)`

Từ `(8),(9)` và `(10)⇒A,I,O,J` thẳng hàng `(đpcm)`