a. Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$BC^{2}$ = $AB^{2}$ + $AC^{2}$ (ĐỊnh lý Py-ta-go thuận)
<=> $BC^{2}$ = $6^{2}$ + $8^{2}$ 
<=> $BC^{2}$ = 100
<=> BC = $\sqrt[]{100}$ 
<=> BC = 10 (cm)

 Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

sin∠ABC = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$ 

=>∠ABC xấp xỉ $53^{°}$ 

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

sin∠ACB = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$ 

=>∠ACB xấp xỉ $37^{°}$

b. Xét tam giác ABC ta có:

AD là đường phân giác trong (gt)

=> $\frac{DB}{DC}$ = $\frac{BA}{CA}$ = $\frac{6}{8}$ = $\frac{3}{4}$ (Tính chất đường phân giác trong)
=> $\frac{DB}{3}$ = $\frac{DC}{4}$ 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\frac{DB}{3}$ = $\frac{DC}{4}$ = $\frac{DB + DC}{3+4}$ = $\frac{BC}{7}$ = $\frac{10}{7}$

=>$\left \{ {{BD=\frac{30}{7}(cm)} \atop {CD=\frac{40}{7}}(cm)} \right.$ 

c. Xét tứ giác AEDF ta có:

  ∠BAC = ∠AED = ∠AFD =  $90^{°}$ (Tam giác ABC vuông tại A, DE⊥AB tại E, DF⊥AC tại F)

=> Tứ giác AEDF là hình chữ nhật

Mà AD là tia phân giác của ∠EAF (gt)

Nên AEDF là hình vuông

Ta có:

$\left \{ {{∠ABD=∠DAC} \atop {∠DAC=∠DAB}} \right.$ 

=>∠ABD=∠BAD

=> Tam giác ABD cân tại D

Mà DE là đường cao (DE⊥AB tại E)

Nên DE là đường trung tuyến

=>E là trung điểm AB

=>AE = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3 (cm)

Ta có:

$P_{AEDF}$ = 4.AE = 4.3 = 12 (cm)

$S_{AEDF}$ = $AE^{2}$  = $3^{2}$  = 9 ($cm^{2}$ )

Đây là cách giải của mình nha ;)