Bài 15:

Gọi số học sinh là `n` `(n>0)`

Vì chia 100 quyển tập mà dư 4 quển nên: `(100-4)` chia hết cho`n=>96` chia hết cho `n`(1)

Vì chia 90 cây bút mà dư 18 cây nên:`(90-18)` chia hết cho `n=>72` chia hết cho `n` (2)

Từ `(1)` và `(2)` suy ra `96` và `72` chia hết cho `n`

`=>n∈ƯC(96,72)`

Ta có: `96=2^5.3   72=2^3. 3^2`

`=>ƯCLN(96; 72)=2^3.3=24`

`=>n∈ƯC(96,72)=Ư(24)={1; 2; 3; 4; ; 12; 24}`

Xét nếu n=1 thì 18 cây bút và 4 quyển tập sẽ đủ

Do đó n>18. Vì n>18 nên n=24

=>Số học sinh được chia là24

`17)`

`a)7^6 + 7^5 - 7^4` chia hết cho `11`

Xét `7^6 + 7^5 - 7^4`

`=7^4(7^2 + 7^1 -1)`

`=7^4 . 55`

Vì 55 chia hết cho 11 nên `7^4` chia hết cho `11`

`=>7^6 + 7^5 - 7^4` chia hết cho `11`

        `(đpcm)`

`b)17^5 + 24^4 - 13^21` chia hết cho `10`

Xét: `17^5=1419857=(...7)`

`24^4` Vì nếu chữ số tận cùng là 4 thì mũ chẵn sẽ ra chữ số tận cùng là 6. nếu chữ số tận cùng là 4 thì mũ lẻ sẽ ra chữ số tận cùng là 4`

Vì `4` là số chẵn nên `24^4=(..6)`

`13^21=13.13^20=13.(13^4)^5=13.(..1)^5=13.(..1)=(...3)`

`=>17^5 + 24^4 - 13^21=(..7)+(..6)-(..3)=..0`

Vì chữ số tận cùng là 0 nên `17^5 + 24^4 - 13^21` chia hết cho `10`

`c)2007^2005-2003^2003` chia hết cho `10`

Xét `2007^2005-2003^2003`

`=2007.2007^2004-2003^3.2003^2000`

`=2007.(2007^4)^501-2003^3.(2003^4)^500`

`=2007.(..1)^501-(..7).(..1)^500`

`=2007.(..1)-(...7).(...1)`

`=(..7)-(..(7)`

`=(..0)`

`V`ì chữ số tận cùng là 0 nên`2007^2005-2003^2003` chia hết cho `10`

`đpcm`