$\begin{array}{l} \left( {3m - 2n - 4} \right)\sqrt 6  - 2m - n + 5 = 0\\  \Leftrightarrow \left( {3m - 2n - 4} \right)\sqrt 6  = 2m + n -5 \end{array}$  

Vì $\sqrt 6$ là số vô tỉ và $m,n$ là số hữu tỉ nên $(3m-2n-4)\sqrt 6$ là số hữu tỉ.

Mà  $\Leftrightarrow \left( {3m - 2n - 4} \right)\sqrt 6  = 2m + n -5 \in\mathbb{Q}$ nên ta có được:

$3m-2n-4=0$ và $2m+n-5=0$

$\begin{array}{l}
3m - 2n - 4 = 0\\
 \Leftrightarrow 3m = 2n + 4\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{{2n + 4}}{3}\left( 1 \right)\\
 \Rightarrow 2m + n - 5 = 0\left( 2 \right)\\
\left( 1 \right) \to \left( 2 \right):2.\dfrac{{2n + 4}}{3} + n - 5 = 0\\
 \Leftrightarrow 4n + 8 + 3n - 15 = 0\\
 \Leftrightarrow 7n - 7 = 0\\
 \Leftrightarrow n = 1 \Rightarrow m = \dfrac{{2.1 + 4}}{3} = 2\\
 \Rightarrow \left( {m;n} \right) = \left( {2;1} \right)
\end{array}$