Giải thích các bước giải:

Ta chứng minh đẳng thức sau :

Nếu a + b + c = 0 ⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc

Ta có : a + b + c = 0 ⇒ a + b = -c

⇒ (a + b)³ = (-c)³ ⇒ a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = -c³

⇒ a³ + b³ + c³ = -3a²b - 3ab² ⇒ a³ + b³ + c³= -3ab(a + b)

Thay a + b = -c vào -3ab(a + b) ta được:

-3ab(a + b) = -3ab.(-c)= 3abc

Vậy nếu a + b + c = 0 thì a³ + b³ + c³ = 3abc.

Quay trở lại với bài toán, ta có:

x + y + z = -3 ⇒ x + 1 + y + 1 + z + 1 = -3 + 1 + 1 + 1

⇒ ( x + 1) + (y + 1) + (z + 1) = 0

Áp dụng đẳng thức nếu a + b + c = 0 thì a³ + b³ + c³ = 3abc vào bài toán, ta có :

(x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1 ) = 0

⇒ ( x + 1 )³ + (y + 1 )³ + ( z + 1 )³ = 3(x + 1)(y + 1)(z + 1)

⇒ Nếu x + y + z = -3 thì :

(x + 1)³ + ( y + 1 )³ + ( z + 1 )³ = 3(x + 1)( y + 1 )(z + 1)

$\\$

Ta chứng minh : 

Nếu `a^3 +b^3+c^3=3abc` thì `a+b+c=0`

`a^3+b^3+c^3=3abc`

`-> (a^3+b^3)+c^3-3abc=0`

`-> (a+b)^3 +c^3 - 3ab (a+b) - 3abc=0`

`-> (a+b+c)[(a+b)^2- (a+b)c +c^2] - 3ab (a+b+c)=0`

`-> (a+b+c)[a^2 +2ab +b^2 - ac-bc +c^2 - 3ab]=0`

`-> (a+b+c) (a^2 +b^2 +c^2 -ab -ac-bc]=0`

Do đó : `a+b+c=0`

`-> a^3 +b^3+c^3=3abc` thì `a+b+c=0`

$\\$

`(x+1)^3 + (y+1)^3 + (z+1)^3=3(x+1)(y+1)(z+1)`

Đặt `a=x+1,b=y+1,c=z+1`

`-> a^3 +b^3+c^3 = 3 abc`

`-> a+b+c=0`

`->x+1+y+1+z+1=0`

`->x+y+z+3=0`

`->x+y+z=-3` (đpcm)