Đáp án:

$1. A$

$2. 3$ cực trị 

$3. A$

$4. A$

$5. D$

Giải thích các bước giải:

1.

$f'(x^3 + x) = \dfrac{4}{3x^2 +1}$

$ f'(2) \to x^3 + x =2$

$\to x =1 \to f'(2)=1$

2.

$g(x) = f(\sqrt{ x^2 -10 x +9})$

$\to g'(x)=\dfrac{(2x-10)(x^2 -10x +9)}{2\sqrt{x^2 -10x +9}}. f'(\sqrt{ x^2 -10 x +9}) =0$

$\to \left[ \begin{array}{l}x=5\\x=9\\x=1\\f'(\sqrt{ x^2 -10 x +9}) =0\end{array} \right.$

$\to \left[ \begin{array}{l}\sqrt{x^2 -10x+9} =0\\\sqrt{x^2 -10x +9}-3=0\end{array} \right.$

$\to \left[ \begin{array}{l}x=9\\x=1\\x=10\\x=0\end{array} \right.$

Loại $x=9, x=1$ do nghiệm chẵn 

3. 

$g(x)= f(x^2 +4x +3)$

$\to g'(x) = (2x+4)(f'(x^2 +4x +3))=0$

$\to \left[ \begin{array}{l}x=-2\\f'(x^2 +4x +3)=0\end{array} \right.$

$\to x^2 +4x +3=-1$

$\to x=-2$ ( nghiệm bội chẵn )

4.

$f(x^2 -8x +m)$

$\to \left[ \begin{array}{l}x=4 \to 1 \text{cực trị}\\f'(x^2 -8x +m)=0\end{array} \right.$

$f'(x)= (x-1)^2.(x^2 -2x)=0$

$\to \left[ \begin{array}{l}x=2\\x=0\end{array} \right.$

$\to \left[ \begin{array}{l}x^2 - 8x+m=2\\x^2 - 8x+m=0\end{array} \right.$

TH1: $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt khác $4$ và $(2)$ có nghiệm kép $\ne 4$

$\to \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}\Delta '>0\\f_1(4) \ne 0\end{cases}\\\begin{cases}\Delta' =0\\f_2(4)\ne 0\end{cases}\end{array} \right.$

$\to m <18$

TH2 : $(2)$ có 2 nghiệm phân biệt $\ne 4$ và $(1)$ có nghiệm kép $\ne 4$

$\to m <16$

$\longrightarrow m <16$

$\to 15$ giá trị nguyên dương $m$

5.

$g'(x)=\dfrac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+2}}.f'(\sqrt{x^2-2x+2})=0$

$\to \left[ \begin{array}{l}x=1\\\sqrt{x^2-2x+2}=0(VN) \\ \sqrt{x^2-2x+2}=1\to x=1(\text{bội chẵn}) \\ \sqrt{x^2-2x+2}=3\to 2 \text{nghiệm} \end{array} \right.$

Vậy $4$ cực trị