Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Cách 1

`1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`

`<=>(a^2+b^2)/(a^2b^2)>=8/(a+b)^2`

`<=>(a^2+b^2)(a+b)^2>=8a^2b^2`

Dễ dàng chứng minh được

`a,b>0`

`=>``{(a^2+b^2>=2ab),((a+b)^2>=4ab):}`

`=>(a^2+b^2)(a+b)^2>=8a^2b^2`

Dấu `=` xảy ra `<=>a=b`

Cách 2

Do `a,b>0`

`1/a^2+1/b^2>= 2/\sqrt{a^2b^2}=2/(ab)`

Dễ dàng chứng minh được

`(a+b)^2>=4ab`

`=>1/(4ab)>=1/(a+b)^2`

`=>2/(ab)>=8/(a+b)^2`

`=>1/a^2+1/b^2>=2/(ab)>=8/(a+b)^2`

`=>1/a^2+1/b^2>=8/(a+b)^2`

`=>đpcm`

Dấu `=` xảy ra `<=>a=b`

Hình như đề thiếu điều kiện a,b thuộc Z nếu không có 1 số trường hợp vô lý 

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhia ta được:

  $\dfrac{1}{a^{2}}$ + $\dfrac{1}{b^{2}}$ $\geq$  $\dfrac{(1+1)^{2}}{a^{2}+b^{2}}$ = $\dfrac{4}{a^{2}+b^{2}}$ $\geq$ $\dfrac{4+2ab}{(a+b)^{2}}$ 

Mà $a,b^{}$ > $0^{}$ và $a,b^{}$ $\in$ Z

⇒ $\dfrac{1}{a^{2}}$ + $\dfrac{1}{b^{2}}$ $\geq$ $\dfrac{4+2ab}{(a+b)^{2}}$ $\geq$ $\dfrac{4+4}{(a+b)^{2}}$ = $\dfrac{8}{(a+b)^{2}}$

 Vậy $\dfrac{1}{a^{2}}$ + $\dfrac{1}{b^{2}}$ $\geq$ $\dfrac{8}{(a+b)^{2}}$