Xét đa thức bậc hai q(x) = p(x) − x − 1.

Khi đó q(1) = p(1) − 1 − 1 = 0 và q(2) = p(2) − 2 − 1 = 0. Suy ra q(x) chia hết cho x − 1, x − 2. Do q(x) có bậc 2 nên q(x) = a(x − 1)(x − 2). Nhưng q(3) = p(3) − 3 − 1 = 4 nên q(3) = a(3 − 1)(3 − 2) = 4 ⇔ a = 2.
Vậy p(x) = q(x) + x + 1 = 2(x − 1)(x − 2) + x + 1 = 2(x2 − 3x + 2) + x + 1 = 2x2 − 5x + 5.
Vậy p(x) = 2x2 − 5x + 5.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 Gọi đa thức bậc hai `P(x)` có dạng : `P(x) = ax² + bx + c`

Nếu `P(1) = 2` thì ta có : `a . 1² + b . 1 + c = 2`

`⇒ a + b + c = 2`

`⇒ c = 2 - a - b`

Nếu `P(2) = 3` thì ta có : `a . 2² + 2b + c = 3`

`⇒ 4a + 2b + c = 3`  (*)

Nếu `P(3) = 8` thì ta có : `a . 3² + 3b + c = 8`

`⇒ 9a + 3b + c = 8` (**)

Thay `c = 2 - a - b` vào (*) ta được :

`4a + 2b + 2 - a - b = 3`

`⇔ 3a + b = 1`

`⇔ b = 1 - 3a`

Thay `b = 1 - 3a ; c = 2 - a - b` vào (**) ta được :

`9a + 3(1 - 3a) + 2 - a - b = 8`

`⇔ 9a + 3 - 9a + 2 - a - 1 + 3a = 8`

`⇔ 2a = 4`

`⇔ a = 2`

Khi đó `b = 1 - 3 . 2 = - 5`

           `c = 2 - 2 + 5 = 5`

Vậy đa thức bậc hai `P(x) = 2x² - 5x + 5`