`a)\triangleABC` có `AB` là đường kính nên `\triangleABC` vuông tại `C`

`=>\hat{ACB}=90^o`

Tương tự`: \hat{CBD}=90^o` và `\hat{ADB}=90^o`

Xét tứ giác `ACBD` có`: \hat{ACB}=\hat{CBD}=\hat{ADB}=90^o`

`=>`Tứ giác `ACBD` là hình chữ nhật

`b)BP\botAB`

`=>\triangleABP` vuông tại `B`

`=>\hat{BAP}+\hat{ABP}=90^o(`phụ nhau`)` mà `\hat{ABC}+\hat{BAC}=90^o(`phụ nhau`)`

`=>\hat{APB}=\hat{ABC}(**)`

`OB=OC=R`

`=>\triangleOBC` cân tại `O`

`=>\hat{OBC}=(180^o-\hat{BOC})/2(1)`

`OA=OD=R`

`=>\triangleOAD` cân tại `O`

`=>\hat{ODA}=(180^o-\hat{AOD})/2(2)`

`\hat{BOC}=\hat{AOD}(`đối đỉnh`)(3)`

Từ `(1), (2)` và `(3)=>\hat{OBC}=\hat{ODA}(** **)`

Từ `(**)` và `(** **)=>\hat{APQ}=\hat{ODA}` hay `\hat{APQ}=\hat{ADC}`

`c)`Gọi giao điểm của `BC` và `OK` là `E`

Gọi giao điểm của `BD` và `OH` là `F`

Theo `a: \hat{ACB}=90^o` hay `\hat{BCP}=90^o`

`=>\triangleBCP` vuông tại `C` có`: BK=PK(K` là trung điểm `BP)`

`=>CK` là đường trung tuyến

`=>CK=BK`

Xét `\triangleOBK` và `\triangleOCK` có:

`OB=OC`

`BK=CK`

`OK` chung

`=>\triangleOBK=\triangleOCK(c.c.c)`

`=>\hat{OCK}=\hat{OBK}=90^o`

`=>CK\botOC` hay `CK\botCD(** ** **)`

`BK=CK` và `OB=OC`

`=>OK` là đường trung trực của `BC`

`=>OK\botBC` tại `E`

`=>\hat{OEB}=90^o`

`OH\botOK`

`=>\hat{HOK}=90^o` hay `\hat{EOF}=90^o`

Theo `a: \hat{CBD}=90^o` hay `\hat{EBF}=90^o`

Xét tứ giác `OEBF` có`:  \hat{EOF}=\hat{OEB}=\hat{EBF}=90^o`

`=>`Tứ giác `OEBF` là hình chữ nhật

`=>\hat{OBF}=90^o`

`=>OF\botBF` hay `OF\botBD`

`OB=OD=R`

`=>\triangleOBD` cân tại `O` nên đường cao `OF` cũng là đường phân giác

`=>\hat{BOF}=\hat{DOF}` hay `\hat{BOH}=\hat{DOH}`

Xét `\triangleOBH` và `\triangleODH` có:

`OB=OD`

`\hat{BOH}=\hat{DOH}`

`OH` chung

`=>\triangleOBH=\triangleODH(c.g.c)`

`=>\hat{ODH}=\hat{OBH}=90^o`

`=>DH\botOD` hay `DH\botCD(** ** ** **)`

Từ `(** ** **)` và `(** ** ** **)=>CK////DH`