Đáp án:

 Tự vẽ hình ^^

a) Chứng minh được: Δ ABC = Δ ABE (c.g.c)
Suy ra  ∠CAB = ∠EAB 
Vậy AB là tia phân giác của ∠ CAE  
b) Chứng minh được:
  Δ AHM = Δ AHN (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AM = AN. Do đó Δ AMN cân tại A.
Mà AB là phân giác  ∠EAC nên AB ⊥⊥ MN  .
Khi đó MN // CE (cùng vuông góc với AB)
c) Do Δ AHM = Δ AHN nên HN = HM.
Mặt khác, trong tam giác vuông CNH có HC > HN.
Do đó HC > HM.
d) CMN cân tại N thì ∠NCM = ∠NMC  
Mà MN // CE nên ∠NMC = ∠MCE  (so le trong)
Suy ra ∠NCM = ∠MCE 
Chứng minh được Δ CME = ΔCMA(g.c.g) . Suy ra CE = CA.
Như vậy CA = CE = AE nên Δ ACE là tam giác đều.
 => ∠ BCA  = 600600 .
Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện ∠BCA = 60^0  thì ΔCMN cân tại N.
Chứng minh lại:
Khi Δ ABC có ∠BCA=600∠BCA=600 thì ΔCMN cân tại N.
Chứng minh lại:
 
Khi ABC có ∠BCA =600∠BCA =600 thì ΔCMN có vừa là đường cao, vừa là phân giác ∠ECA  nên
∠HCN=∠CMN=300∠HCN=∠CMN=300  .  Suy ra ΔCMN cân tại N.

Giải thích các bước giải: