a)  $\Delta$ ADC có M,N lần lượt là trung điểm AD, AC

$\rightarrow$ MN là đường trung bình tam giác ADC

$\rightarrow$ MN // DC

$\rightarrow$ BMNI là hình thang   (1)

$\Delta$ ABD vuông tại B, có BM là đường trung tuyến

$\rightarrow$ BM = MD = MA

$\rightarrow$ $\Delta$ BMD cân tại M

$\rightarrow$ $\widehat{MBD}$ = $\widehat{MDB}$     (3)

$\Delta$ ADC có: NA = NC; ID = IC

$\rightarrow$ NI là đường trung bình

$\rightarrow$ NI // AD

$\rightarrow$ $\widehat{NID}$ = $\widehat{ADB}$ (2 góc đồng vị)        (4)

(3)(4) $\rightarrow$   $\widehat{MBD}$ = $\widehat{NID}$   (2)

(1)(2) $\rightarrow$    BMNI là hình thang cân.

b) Vì AD là phân giác $\widehat{BAC}$

$\rightarrow$ $\widehat{BAD}$ = $30^{0}$

$\rightarrow$ $\widehat{MDB}$ = $60^{0}$

$\rightarrow$ $\widehat{MDB}$ = $\widehat{NID}$ = $60^{0}$

$\widehat{BMD}$ = $\widehat{MNI}$ = $120^{0}$

a)

Xét `ΔADC` có

`AM=MD (g t)`

`AN=NC(g t)`

`=>MN` là đường trung bình của `ΔADC`

Do đó `MN`//`DC`

Mà `D∈BC;I∈BC`

`=>MN`//BI`

Do đó tứ giác `BMNI` là hình thang (*)

Xét `ΔADC` có

`AN=NC(g t)`

`DI=IC(g t)`

`=>IN` là đường trung bình của `ΔADC`

Do đó `NI`//`AD`

`=>hat(NID)=hat(MDB)` ( đồng vị ) `(1)` 

Xét `ΔABD` có

`BM` là trung truyến

`=>BM=1/2 AD`

Mà `MD=1/2 AD`

`=>BM=MD`

Do đó `ΔBMD` cân tại `M`

`=>hat(MBD)=hat(MDB) (2)`

Từ `(1);(2)` suy ra `hat(NIB)=hat(MBI)` (**)

Từ (*);(**) suy ra `BMNI` là hình thang cân

b)

Ta có `AD` là tia phân giác của `hat(BAC)`

`=>hat(BAD)=1/2 hat(BAC)`

`=>hat(BAD)=1/2 60^o`

`=>hat(BAD)=30^o`

Xét `ΔABD` có

`hat(ADB)=hat(aBD)+hat(BAD)=180^o` ( tổng ba góc trong của một tam giác )

`=>hat(ADB)=180^o-90^o-30^o`

`=>hat(ADB)=60^o`

Mà `ΔBMD` cân tại `M`

`=>hat(MBD)=hat(MDB)=60^o`

Ta lại có `BMNI` là hình thang cân 

`=>hat(MBI)=hat(NIB)=60^o`

Ta có: `hat(MBI)+hat(BMN)=180^o (MN`//`BI` ở vị trí trong cùng phía `)`

`=>hat(BMN)=180^o-60^o`

`=>hat(BMN)=120^o`

Mà `BMNI` là hình thang cân

Nên `hat(BMN)=hat(MNI)=120^o`

Vậy `hat(MBI)=hat(NIB)=60^o;hat(BMN)=hat(MNI)=120^o`