Đáp án:

a)

Vì F là điểm đối xứng của A qua N (gt) nên N là trung điểm của AF

$\to AF=FN$

S là trung điểm của BF (gt)

$\to BS=SF$ 

Xét $\triangle BFA$:

$AF=FN$ (gt)

$BS=SF$ (gt)

$\to$ SN là đường trung bình của $\triangle BFA$

$\to SN//BA; SN=\dfrac{1}{2}BA$ (tính chất đường trung bình)

Ta có: M là trung điểm của CD (gt)

$\to CM=MD=\dfrac{1}{2}CD$

Mà $AB=CD; AB//CD$ (ABCD là hình chữ nhật)

$\to CM=MD=SN; SN//AB$

Xét tứ giác $CSNM$:

$SN=CM$ (cmt)

$SN//CM$ (vì SN//AB)

$\to$ Tứ giác $CSNM$ là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

b)

Ta có: $SN//AB$ (cmt)

Mà $AB \bot BC \to SN\bot BC$

Gọi K là giao điểm của SC và NB

Vì tứ giác $CSNM$ là hình bình hành

$\to CS//NM$ hay $CK//MN$

Lại có: $BN \bot MN$ (gt)

$\to CK \bot BN$ hay $SK \bot BN$

Xét $\triangle BNC$:

$SN\bot BC$ (cmt)

$SK \bot BN$ (cmt)

$\to$ S là trực tâm của $\triangle BNC$

$\to BS \bot NC$ hay $BF \bot AC$

Giải thích các bước giải:

a)

- Sử dụng tính chất đường trung bình để chứng minh được $SN//AB; SN=\dfrac{1}{2}AB$ để suy ra được cặp cạnh đối SN và MC của hình bình hành $CSNM$ song song và bằng nhau:

+ Từ đề bài ABCD là hình chữ nhật, suy ra được $AB//CD$ từ đó suy ra $SN//CD$ (vì cùng song song AB) hay $SN //MC$

+ Vì M là trung điểm nên $MC=\dfrac{1}{2}CD$ hay $CM=\dfrac{1}{2}AB$ (vì AB=CD do ABCD là hình chữ nhật) suy ra $SN=MC$ (vì cùng bằng $\dfrac{1}{2}AB$)

b)

- Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh được $BF \bot AC$:

+ Từ phần a ta có được: $SN//AB$ mà ABCD là hình chữ nhật nên $AB\bot BC$, từ đó suy ra $SN\bot BC$ (từ vuông góc đến song song)

+ Gọi K là giao điểm của CS và NB. Vì tứ giác $CSNM$ là hình bình hành nên $CS//NM$ hay $CK//NM$mà $NM\bot NB$ (gt) nên $CK \bot NB$ (từ vuông góc đến song song), từ đó suy ra S là trực tâm của $\triangle BNC$ vì là giao điểm của 2 đường cao NS, CK

+ Vì BF cũng giao với 2 đường cao NS và CK tại S nên BF cũng là đường cao của $\triangle BNC$ suy ra $BF \bot NC$ hay $BF \bot AC$