Đáp án: $\left[\begin{matrix} x=0\\ x=2\end{matrix}\right.$

Giải thích các bước giải:

$\text{ Theo bài ra ta có:}$ `25^(2x+1-x^2)+9^(2x+1-x^2)=34`

`<=> 5^(2.(2x+1-x^2))+3^(2.(2x+1-x^2))=34`

`<=> 5^(4x+2-2x^2)+3^(4x+2-2x^2)=34`

$Đặt$ `4x+2-2x^2 = t`

`=> 5^t + 3^t = 34`

`<=> 5^t + 3^t - 34=0`

$\text{ Ta có hàm số}$  `y=5^t + 3^t - 34`

`y'= 5^t . ln5 + 3^t . ln3`

$\text{ Ta dễ thấy}$ `5^t > 0, 3^t > 0` $\text{ với mọi t}$

`ln 5 > 0; ln 3 > 0`

`=> 5^t . ln5 + 3^t . ln3 > 0` $\text{ với mọi t}$

`<=> y' > 0` $\text{ với mọi t}$

$Vậy$ `y` $\text{ luôn đồng biến trên R}$

`=>` $\text{  y chỉ có nhiều nhất một nghiệm trên R}$        (***)

$\text{ Xét pt}$ `5^t + 3^t - 34` $\text{ ta thấy:}$

$Khi$ `t = 2` $thì$ `5^2 + 3^2 - 34=0`

`=>` $\text{ t= 2 thỏa mãn là nghiệm duy nhất của pt }$

`<=> 4x+2-2x^2=2`

`<=>4x-2x^2=0`

`<=>2x(2-x)=0; <=>` $\left[\begin{matrix} x=0\\ x=2\end{matrix}\right.$

 ----------------------------

(***) $\text{ Ta có tính chất: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến }$

$\text{(trên 1 khoảng nào đó, trong bài này là cả khoảng R )thì phương trình }$

$\text{đó chỉ có nhiều nhất một nghiệm, không đc vượt quá (trên khoảng đó) }$