Lời giải:

Từ $B$ và $C$ lần lượt kẻ các đường thẳng song song với $MN$, cắt $AD$ tại $E$ và $F$

$\Rightarrow MN//BE//CF$

Xét $\triangle BDE$ và $\triangle CDF$ có:

$\begin{cases}\widehat{BDE}=\widehat{CDF}\quad \text{(đối đỉnh)}\\BD = DC =\dfrac12BC\quad (gt)\\\widehat{EBD}=\widehat{FCD}\quad \text{(so le trong)}\end{cases}$

Do đó $\triangle BDE =\triangle CDF\ (g.c.g)$

$\Rightarrow DE = DF$ (hai cạnh tương ứng)

Áp dụng định lý $Thales$ ta có:

$a)$

$\bullet\quad MG//BE\quad (MN//BE;\ G\in MN)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AE}{AG}$

$\bullet\quad NG//CF\quad (MN//CF;\ G\in MN)$

$\Rightarrow \dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AF}{AG}$

Ta được:

$\quad \dfrac{AB}{AM} +\dfrac{AC}{AN}$

$=\dfrac{AE}{AG}+\dfrac{AF}{AG}$

$=\dfrac{AE+AF}{AG}$

$=\dfrac{(AD - ED) + (AD+DF)}{AG}$

$=\dfrac{2AD}{AG}$

$= 2\cdot \dfrac32$

$= 3$

$b)$

$\bullet\quad \dfrac{BM}{AM} =\dfrac{EG}{AG}$

$\bullet\quad \dfrac{CN}{AN}=\dfrac{FG}{AG}$

Ta được:

$\quad \dfrac{BM}{AM} +\dfrac{CN}{AN}$

$=\dfrac{EG}{AG} +\dfrac{FG}{AG}$

$=\dfrac{EG+FG}{AG}$

$=\dfrac{(GD - ED) + (GD + DF)}{AG}$

$=\dfrac{2GD}{AG}$

$=2\cdot \dfrac12$

$= 1$