`#laviken#`

a) Xét $\triangle$ `AQO` và `OCN` có :

`NC=QA` 

`\hat{ACB}=\hat{M}` ( so le trong )

`\hat{PNC}=\hat{MQN}` ( so le trong )

Do đó : $\triangle$ `AQO``=` $\triangle$ `OCN` (g-c-g)

`=>``\hat{AOQ}=\hat{CON}` ( 2 góc tương ứng )

`=>` `Q,N,O` thẳng hàng

Tương tự `=>` `M,N,O` thẳng hàng

b) Vì `ABCD` là hình thoi 

`=>` `AB=BC=CD=AD`

`=>` `PC/CD=CN/CB`

`=>` `PN`//`BD`

Tương tự `=>` `QM`//`BD`; `QB`//`AC`;`MN`//`AC`

`=>` `PN`//`BD`//`QM`//`QB`//`AC`//`MN`

`=>` `AHNP` là hình bình hành

Mà `BD` $\bot$ `AC`

`=>` `MNPQ` là hình chữ nhật

`a)`

Vì `ABCD` là hình thoi

`⇒AB////CD,AB=BC=CD=AD` và `AD////BC(` tính chất hình thoi `)`

Vì `AB////CD(cmt)`

Mà `M∈AB,P∈CD`

`⇒BM////DP`

Ta có:`AB=AM+BM`

          `CD=CP+DP`

Mà `AB=CD(cmt)`

      `AM=CP(g``t)`

`⇒BM=DP`

Xét tứ giác `BMDP` có:

    `BM////DP(cmt)`

    `BM=DP(cmt)`

`⇒` tứ giác `BMDP` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)`

`⇒BD` cắt `MP` tại trung điểm `O` của `BD,MP(` tính chất hình bình hành `)`

`⇒M,O,P` thẳng hàng `(đpcm)`

Vì `AD////BC(cmt)`

Mà `Q∈AD,N∈BC`

`⇒AQ////CN`

Xét tứ giác `ANCQ` có:

    `AQ////CN(cmt)`

    `AQ=CN(g``t)`

`⇒` tứ giác `ANCQ` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)`

`⇒AC` cắt `NQ` tại trung điểm `O` của `AC,NQ(` tính chất hình bình hành `)`

`⇒N,O,Q` thẳng hàng `(đpcm)`

`b)`

Xét tứ giác `MNPQ` có:

`O` là trung điểm của `MP(cmt)`

`O` là trung điểm của `NQ(cmt)`

`⇒` tứ giác `MNPQ` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành `)(1)`

Vì `ABCD` là hình thoi

`⇒AC⊥BD(` tính chất hình thoi `)`

Ta có:`AB=AM+BM`

         `BC=CN+BN`

Mà `AB=BC(cmt)`

      `AM=CN(g``t)`

`⇒BM=BN`

`⇒ΔBMN` cân tại `B`

`⇒hat{BMN}=(180^o-hat{B})/2(2)`

Ta có:`AB=BC(cmt)`

`⇒ΔABC` cân tại `B`

`⇒hat{BAC}=(180^o-hat{B})/2(3)`

Từ `(2)` và `(3)⇒hat{BMN}=hat{BAC}`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị

`⇒MN////AC`

Mà `AC⊥BD(cmt)`

`⇒MN⊥BD(4)`

Ta có:`AM=AQ(g``t)`

`⇒ΔAMQ` cân tại `A`

`⇒hat{AMQ}=(180^o-hat{A})/2(5)`

Ta có `AB=AD(cmt)`

`⇒ΔABD` cân tại `A`

`⇒hat{ABD}=(180^o-hat{A})/2(6)` 
Từ `(5)` và `(6)⇒hat{AMQ}=hat{ABD}`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị

`⇒MQ////BD(7)`

Từ `(4)` và `(7)⇒MN⊥MQ`

                       `⇒hat{QMN}=90^o(8)`

Từ `(1)` và `(8)⇒MNPQ` là hình chữ nhật `(` hình bình hành có `1` góc vuông là hình chữ nhật `)(đpcm)`