a) Có: Tam giác ABC vuông tại A (gt) nên ⇒Góc BAC=90 độ (T/c Δ vuông) hay góc DAE=90 độ

       D là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB (gt) nên⇒DM⊥AB tại D⇒Góc ADM=Góc BDM=90 độ

       E là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AC (gt) nên⇒EM⊥AC tại E⇒Góc MEA=Góc MEC=90 độ

    Xét tứ giác ADME,có:

           Góc DAE=Góc ADM=Góc AEM=90 độ (cmt)

⇒Tứ giác ADME là hình chữ nhật (dhnb)

b) Có: ADME là hình chữ nhật (cma) nên

⇒ AM cắt DE tại trung điểm mỗi đường (T/c hình chữ nhật)

Mà I là trung điểm của DE (gt)

⇒ I cũng là trung điểm của AM

⇒ 3 điểm I,A,M thẳng hàng

c) Kẻ AK⊥BC tại K

    Có: ADME là hình chữ nhật (cma) nên:

⇒  AM=DE (t/c hình chữ nhật)

    Có: AM≥AK (Khoảng cách các đoạn cùng một điểm kéo xuống cùng một mặt phẳng)

    Dấu "=" xảy ra ⇔ AM=AK

                            ⇔ AM⊥BC tại M

                            ⇔ M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC

    Vậy DE có độ dài nhỏ nhất ⇔ M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC

*)Giả sử M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.

    Xét tam giác ABC vuông tại A (gt), có:

          BC²=AB²+AC² (Định lý Py-ta-go)

          BC²=15²+20²

          BC²=625

⇒BC=25 (cm)

    Có: M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC

⇒AM⊥BC tại M

⇒Góc AMB=Góc AMC= 90 độ

    Xét tam giác MBA và tam giác ABC, có:

        Góc AMB=Góc BAC=90 độ

        Góc ABC chung

⇒Tam giác MBA~Tam giác ABC (g.g)

⇒$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AB}{BC}$

⇒ $\frac{AM}{20}$=$\frac{15}{25}$

⇒AM=12 (cm) hay DE=12 cm (đpcm)