Bài 2: 

Theo định lý tổng 4 gó trong của tứ giác ta có:
$\widehat{A}$+ $\widehat{B}$+ $\widehat{C}$+ $\widehat{D}$ = $360^o$
Mà $\widehat{A}$ + $\widehat{D}$ =  $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$
$\rightarrow$ $\widehat{A}$+$\widehat{D}$ = $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = $180^o$
Có $\widehat{B}$+ $\widehat{C}$ = $180^o$
mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía
$\rightarrow$ AB//CD
$\rightarrow$ tứ giác ABCD là hình thang (đpcm)

Bài 3:

$\widehat{A}$ = $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ = $\widehat{D}$.
Suy ra: $\widehat{A}$ + $\widehat{D}$ = $\widehat{B}$+ $\widehat{C}$
Theo định lý tổng 4 góc trong của tứ giác ta có:
$\widehat{A}$+ $\widehat{B}$+ $\widehat{C}$+ $\widehat{D}$ = $360^o$
Mà $\widehat{A}$ + $\widehat{D}$ = $\widehat{B}$+ $\widehat{C}$
$\rightarrow$ $\widehat{A}$+$\widehat{D}$ = $\widehat{B}$ + $\widehat{C}$ = $180^o$
Có $\widehat{B}$+ $\widehat{C}$ = $180^o$
mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía
$\rightarrow$ AB//CD
$\rightarrow$ tứ giác ABCD là hình thang

Lại có $\widehat{C}$ = $\widehat{D}$
$\rightarrow$ tứ giác ABCD là hình thang cân (đpcm) ( dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

Bài 4:

$\widehat{ABD}$ = $\widehat{DBC}$= $\frac{\widehat{ABC}}{2}$ (BD là tia phân giác của ABC)

$\widehat{ACE}$ = $\widehat{ECB}$= $\frac{\widehat{ACB}}{2}$(CE là tia phân giác của ACB)

mà $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ ($\Delta$ ABC cân tại A)

$\rightarrow$ $\widehat{ABD}$ = $\widehat{ACE}$

Xét $\Delta$ ABD và $\Delta$ ACE có:

$\widehat{BAC}$ - chung

AB = AC

$\widehat{ABD}$ = $\widehat{ACE}$

$\rightarrow$ $\Delta$ ABD = $\Delta$ ACE (g.c.g)

$\rightarrow$ AD = AE (2 cạnh tương ứng)

$\rightarrow$ $\Delta$ ADE cân tại A

$\rightarrow$ $\widehat{ADE}$ = 90⁰ - $\frac{\widehat{EAD}}{2}$

mà $\widehat{ABC}$ = 90⁰ - $\frac{\widehat{BAC}}{2}$ ($\Delta$ ABC cân tại A)

$\rightarrow$ $\widehat{AED}$ = $\widehat{ABC}$

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$\rightarrow$ ED // BC

$\rightarrow$ BEDC là hình thang

mà $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ ($\Delta$ ABC cân tại A)

$\rightarrow$ BEDC là hình thang cân

ED // BC

$\rightarrow$ $\widehat{EDB}$ = $\widehat{DBC}$ (2 góc so le trong)

mà $\widehat{DBC}$ = $\widehat{ABD}$ (BD là tia phân giác của ABC)

$\rightarrow$ $\widehat{EDB}$ = $\widehat{ABD}$

$\rightarrow$ $\Delta$ EBD cân tại E

$\rightarrow$ EB = ED

$\rightarrow$ BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.