xét `ΔABG` có

`BN=NA (g t )`          

`BE=EG (g t)`          

`=>NE` là đường trung bình của `ΔABG`              

do đó `NE=1/2 AG;NE`//`AG (1)`              

xét `ΔACG` có

`AM=MC (g t)`                    

`GF=FC (g t)`

`=>MF` là đường trung bình của `ΔACD` 

do đó `MF=1/2 AG;MF`//`AG (2)`

từ `(1);(2)` suy ra `NE=MF;NE`//`MF`

do đó tứ giác `MNEF` là hình bình hành `(đpcm )`

( tứ giác có cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành )

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`ΔABC` có: `M` là trung điểm của `AC`

                  `N` là trung điểm của `AB`

          `-> MN` là đường trung bình của `ΔABC`

          `-> MN //// BC, MF = 1/2 BC`

`ΔGBC` có: `M` là trung điểm của `AC`

                  `N` là trung điểm của `AB`

          `-> MN` là đường trung bình của `ΔABC`

          `-> MN //// BC, MF = 1/2 BC`

`ΔAGC` có: `M` là trung điểm của `AC`

                  `F` là trung điểm của `CG`

          `-> MF` là đường trung bình của `ΔAGC`

          `-> MF //// AG, MF = 1/2 AG`

`ΔAGB` có: `N` là trung điểm của `AB`

                  `E` là trung điểm của `BG`

          `-> EN` là đường trung bình của `ΔAGB`

          `-> EN //// AG, MF = 1/2 AG`

Cách `1:`

Tứ giác `MNEF` có: `MN = EF(=1/2 BC)`

                               `MN //// EF(//// BC)`

                   `= MNEF` là hình bình hành

Cách `2:`

Tứ giác `MNEF` có: `MF = NE(=1/2 AG)`

                               `MN = EF (=1/2 BC)`

                   `=> MNEF` là hình bình hành

Cách `3:`

Tứ giác `MNEF` có: `MF //// NE(////AG)`

                               `MN //// EF = (//// BC)`

                   `=> MNEF` là hình bình hành

Cách `4:`

Ta có: `MN //// EF`

       `=> \hat{EFM} + \hat{NMF} = 180^o(` trong cùng phía`) (1)`

Lại có: `MN //// EF`

       `=> \hat{ENM} + \hat{NMF} = 180^o(` trong cùng phía`) (2)`

Từ `(1), (2) => \hat{EFM}= \hat{ENM}`

Tứ giác `MNEF` có: `\hat{EFM}= \hat{ENM}`

            `=> MNEF` là hình bình hành

Cách `5:`

`ΔABC` có: `CN` là đường trung truyến 

                  `BM` là đường trung truyến 

           mà `G` là giao điểm của `CN` và `BM`

              `=> G` là trọng tâm của `ΔABC`

              `=> NG = 1/2 GC; GM =1/2 GB`

Tứ giác `MNEF` có: `2` đường chéo `NF` và `ME` cắt nhau tại `G`

              mà `G` là trung điểm của `NF(NG = GF = 1/2 GC)`

                    `G` là trung điểm của `ME(MG = GE = 1/2 GB)`

               `=> MNEF` là hình bình hành