`a)` Qua `A` kẻ đường kính `AD` 

Trong đường tròn `(O)` , ta có: 

`OM` nằm trêm đường kình

`BC` là dây cung 

`M` là trung điểm `BC` 

`->OM \bot BC ` (T/C đường kính và dây cung)

Ta có:  `{(AH \bot BC),(OM \bot BC):} -> AH////OM(1)`

Trong `\DeltaAHD`, ta có: `{(AH////OM),(AO =OD):} -> HM =MD -> AH = 2OM (2)`

Từ `(1) ` và `(2)` suy ra:  `\vec(AH) = 2\vec(OM) (đpcm)`

`b)` Ta có:  `VT = \vec(HA)+\vec(HB)+\vec(HC) `
                 `=\vec(HA) +\vec(HD)`  
                 `=\vec(HO) +\vec(OA) +\vec(HO) +\vec(OD)` 
                 `=2\vec(HO)+\vec(0) ` 
                 `=2\vec(HO)=VP(đpcm) `

`c)` Ta có: `\vec(HA) +\vec(HB) +\vec(HC) =3\vec(HO) +\vec(OA) +\vec(OB) + \vec(OC) ` 
`-> VT =\vec(OA)+\vec(OB)+\vec(OC)  `
            `=\vec(HA)+\vec(HB)+\vec(HC)-3\vec(HO) `
            `=2\vec(HO)-3\vec(HO) `
            `= \vec(OH)=VP(đpcm) `

`d)` Với `G` là trọng tâm, `H` là điểm bất kỳ (ở đây là trực tâm)

Ta có:  `\vec(HA) +\vec(HB) +\vec(HC) =3\vec(HG)  `

Mà :  `\vec(HA)+\vec(HB)+\vec(HC)  =2\vec(HO)`

`-> 3\vec(HG) = 2\vec(HO)`

`-> \vec(HO)` và `vec(HG) ` cùng phương

Hay ba điểm `H, G, O` thẳng hàng