Giải thích các bước giải:

$$(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})=(1+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z})(1+\frac{z}{x})$$

$$=1+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+1=2+(\frac{x}{y}+\frac{y}{z} +\frac{z}{x})+(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})$$  

Ta cần chứng minh: $VT \ge 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

$$⇔(\frac{x}{y}+\frac{y}{z} +\frac{z}{x})+(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}) \ge \frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$$ 

Hay là:

$$⇔(\frac{x}{y}+\frac{y}{z} +\frac{z}{x})+(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}) \ge \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{2\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{2\sqrt[3]{z^2}}{\sqrt[3]{xy}}$$ 

Thật vậy:

Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$:

$$⇒\frac{2}{3}.\frac{x}{y}+\frac{2}{3}.\frac{x}{z}+\frac{2}{3} \ge 3.\sqrt[3]{\frac{2x.2x.2}{3.3.3yz}}= \frac{2\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{yz}}$$

Chứng minh tương tự: 

$$⇒\frac{2}{3}.\frac{y}{z}+\frac{2}{3}.\frac{y}{x}+\frac{2}{3} \ge \frac{2\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{xz}}$$

$$⇒\frac{2}{3}.\frac{z}{x}+\frac{2}{3}.\frac{z}{y}+\frac{2}{3} \ge \frac{2\sqrt[3]{z^2}}{\sqrt[3]{xy}}$$

Sau khi thực hiện cộng tất cả các vế trên lại với nhau, Điều phải chứng minh trở thành:

$⇒\frac{1}{3}.(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})-2 \ge 0 $

Mà điều này luôn đúng, bởi vì:

Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$ cho 6 số dương:

$⇒\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y} \ge 6\sqrt[]{\frac{(xyz)^2}{(xyz)^2}}=6$

$⇒\frac{1}{3}.(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}) \ge 2$ 

Hoàn tất bài chứng minh ⇔ Điều phải chứng minh.