Đáp án:

\(S = \dfrac{{3{a^2}\sqrt {15} }}{{16}}\)

Giải thích các bước giải:

Gọi N là trung điểm của SC => MN là đường trung bình của tam giác SCD  => MN // CD // CD

Xét (ABM) và (SCD) có:

M là điểm chung

(ABM) chứa AB.

(SCD) chứa CD.

Mà AB // CD (gt)

=> (ABM) giao (SCD) = MN

=> Thiết diện của hình chóp cắt bởi (ABM) là tứ giác AMNB có MN // AB => AMNB là hình thang.

Xét tam giác SAC và SBD có:

SA = SB (gt), SC = SD (gt), AC = BD (ABCD là hình vuông).

=> Tam giác SAC = tam giác SBD (c.c.c) => AN = BM (hai trung tuyến tương ứng) => AMNB là hình thang cân.

Ta có: MN = CD/2 = a/2

Áp dụng định lí đường trung tuyến trong tam giác SAD ta có:

\(\begin{array}{l}A{M^2} = \dfrac{{S{A^2} + A{D^2}}}{2} - \dfrac{{S{D^2}}}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{a^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{2{a^2}}}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2}\\ \Rightarrow AM = BN = a\end{array}\)

Kẻ MH, NK vuông góc với AB lần lượt tại H và K.

Ta có: \(AH = BK = \dfrac{{AB - MN}}{2} = \dfrac{{a - \dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AMH có:

\(\begin{array}{l}MH = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{{16}}}  = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{4}\end{array}\)

Vậy

\(\begin{array}{l}{S_{AMNB}} = \dfrac{{\left( {MN + AB} \right).MH}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {\dfrac{a}{2} + a} \right).\dfrac{{a\sqrt {15} }}{4}}}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt {15} }}{{16}}\end{array}\)