Đáp án:

 P >= 1/2
dấu = <=> x = y = z = 1/3- z2) + 1/(x2 + z2 - y2)

Giải thích các bước giải:

1/(y2 + z2 - x2) + 1/(x2 + y2
áp dụng cauchy cho 2 số dương
x +y >=2.căn(xy)
y+z >=2.căn(yz)
z+x>= 2.căn(zx)
cộng vế theo vế ta được
x+y+ z >= căn(xy) +căn (yz) + căn( zx) = 1
vì là bất đẳng thức đối xứng nên nó đạt được giá trị nhỏ nhất <=> x = y = z = 1/3
nên phải áp dụng cauchy sao cho x = y = z = 1/3
áp dụng cauchy cho 2 số dương x^2/(x+y) và (x+y)/4 ta được
x^2/(x+y) + (x+y)/4 >= 2.căn(x^2 /4) = x
(phải áp dụng cô sy sao cho x = y = z = 1/3 tức là x^2/(x+y) = (x+y)/4 )
làm tương tự ta được
y^2/(y + z) + (y + z)/4 >= y
z^2/(z+x) + (z+x)/4 >= z
cộng vế theo vế ta được
x^2/(x+y) + y^2/(y+z) + z^2/(z+x) + (x+y+z)/2 >= x +y + z
<=> P >= (x+y+z)/2
mà x +y +z >=1
=> P >= 1/2
dấu = <=> x = y = z = 1/3- z2) + 1/(x2 + z2 - y2)

Đáp án + Giải thích các bước giải:
Pt \(\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{y^2}\right)+\left(z^2+\dfrac{1}{z^2}\right)=6\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+2+\left(y-\dfrac{1}{y}\right)^2+2+\left(z-\dfrac{1}{z}\right)^2+2=6\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{y}\right)^2+\left(z-\dfrac{1}{z}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=0\\y-\dfrac{1}{y}=0\\z-\dfrac{1}{z}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{x}\\y=\dfrac{1}{y}\\z=\dfrac{1}{z}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1y=1\\z=1\end{matrix}\right.\)