Đáp án:+Giải thích các bước giải:

1/ Xét tứ giác ADME có `\hat{DAE} = \hat{ADM} = \hat{AEM} = 90^o`

`=>` Tứ giác ADME là hình chữ nhật

`=> DE = AM`

`\triangle ABC` vuông tại Acó AM là đường trung tuyến

`=> AM =MC = 1/2 BC = 1/2 . 12 = 6`

`=> DE = 6cm`

2/ có `\triangle AMC` cân tại M (AM = MC), ME là đường cao

`=>` ME đồng thời là đường trung tuyến

`=> AE = EC`

N là điểm đối xứng của M qua E `=>` E là trung điểm của MN

Xét tứ giác AMCN có 2 đường chéo AC và MN cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường

`=>` Tứ giác AMCN là hình bình hành

Lại có: `MN ⊥ AC`

`=>` Tứ giác AMCN là hình thoi

3/ Xét `\triangle ABC` có: $\begin{cases} DM // AC\\ BM = MC\end{cases}$

`=> AD = BD (=1/2 AB)`

Lại có: `ME = 1/2 MN`; `AD = ME` (tứ giác ADME là hình chữ nhật)

`=> AB = MN` (1)

`{:(AB⊥AC ),(MN⊥AC):}}=> AB//MN` (2)

Từ (1) + (2) `=>` Tứ giác ABMN là hình bình hành

`=>` 2 đường chéo AM là BN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

mà I là trung điểm AM (do `MN ∩ DE = {I}`)

`=>` I là trung điểm BN

`=>` 3 điểm B, I, N thẳng hàng

4/ Tứ giác ADME là hình vuông `=> AD = AE`

mà `{:(AD=1/2 AB),(AE=1/2AC):}}=> AB = AC`

`=> \triangle ABC` vuông cân tại A
Vậy....