`a)`
+) Xét tam giác `ABD` có `:`

`M` là trung điểm `AB`

`P` là trung điểm `BD`

`⇒` `MP` là đường trung bình trong tam giác `ABD.`

`→` `MP` `//` `AD`                  `(1)`

      `MP` = `1/2` . `AD`          `(2)`

+) Xét tam giác `ADC` có `:`

`Q` là trung điểm `AC`

`N` là trung điểm của `DC`

`⇒` `NQ` là đường trung bình trong tam giác `ADC.`

`→` `NQ` `//` `AD`                 `(3)`

      `NQ` = `1/2` . `AD`         `(4)`

Từ `(1)` và `(3)` `⇒` `NQ` // `MP`

Từ `(2)` và `(4)` `⇒` `NQ` = `MP` ( cùng bằng `1/2` . `AD` )

Xét tứ giác `MNPQ` có `:`

`NQ` // `MP`    `(cmt)`

`NQ` = `MP`    `(cmt)`

`⇒` tứ giác `MPNQ` là hình bình hành `(đpcm)`

`b)`

Xét tam giác `ABC` có `:`

`M` là trung điểm của `AB`

`Q` là trung điểm của `AC` 

`⇒` `MQ` là đường trung bình trong tam giác `ABC`

`→` `MQ` // `BC`

      `MQ` = `1/2` . `BC`

mà `NQ` = `1/2` . `AD` `(cmt)`

Để tứ giác `MNPQ` là hình thoi ta cần phải có `:`

       `NQ` = `MQ` 

hay `1/2`  . `AD` = `1/2` . `BC`

hay `AD` = `BC`

Vậy muốn `MPNQ` là hình thoi thì hình thang ABCD cần thêm điều kiện `:`

`AD` = `BC`

hay hình thang phải cân