·Đặt `BH=x` `(cm)` `(ĐK : x>0)`

`=>CH=BC-BH`

          `=10 - x ` `(cm)`

Xét `triangleABC` vuông tại `A` có :

`AH^2=BH*CH` ( Hệ thức về cạnh và đường cao )

`=>4^2=x(10-x)`

`<=>-x(10-x)+16=0`

`<=>-10x+x^2+16=0`

`<=>x^2-8x-2x+16=0`

`<=>x(x-8)-2(x-8)=0`

`<=>(x-8)(x-2)=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x-8=0\\x-2=0\end{array} \right.\) 

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=8 (tm)\\x=2 (tm)\end{array} \right.\) 

`=>`\(\left[ \begin{array}{l}BH=8\\BH=2\end{array} \right.\) 

`=>CH=10-x`

`=>` \(\left[ \begin{array}{l}CH=10-8\\CH=10-2\end{array} \right.\) 

`=>` \(\left[ \begin{array}{l}CH=2\\CH=8\end{array} \right.\) 

Xét `triangleAHC` vuông tại `H` có :

`1/(EH)^2=1/(AH)^2+1/(CH)^2` ( Hệ thức về cạnh và đường cao )

         `=1/16 + 1/(CH)^2`

+`TH_1` : ( `BH=8cm;CH=2cm` )

`=>1/(EH)^2 = 1/16 + 1/4`

                    `=5/16`

`=>EH=sqrt{16/5}=(4sqrt5)/5` `(cm)`

+`TH_2` : ( `BH=2cm;CH=8cm` )

`=>1/(EH)^2 = 1/16 + 1/64`

                    `=5/64`

`=>EH=sqrt{64/5}=(8sqrt5)/5` `(cm)`

Xét `triangleAEH` vuông tại `E` có :

`AH^2=AE^2 + EH^2`

`=>AE^2 = AH^2 - EH^2`

               `= 4^2 - EH^2`

+`TH_1` : ( `EH=(4sqrt5)/5 cm` )

`=>AE^2 = 16 - 16/5`

                    `=64/5`

`=>AE = (8sqrt5)/5` `cm` 

+`TH_2` : ( `EH=(8sqrt5)/5 cm` )

`=>AE^2 = 16 - 64/5`

                    `=16/5`

`=>AE = (4sqrt5)/5` `cm` 

Xét tứ giác `ADHE` có :

`hatA=hatD=hatH=hatE=90^@`

`=>ADHE` là hình chữ nhật 

`=>S_{ADHE}=AE*EH`

`=>` \(\left[ \begin{array}{l}S_{ADHE}= \dfrac{4\sqrt5}{5} · \dfrac{8\sqrt5}{5}\\S_{ADHE}= \dfrac{8\sqrt5}{5} · \dfrac{4\sqrt5}{5}\end{array} \right.\)

`=>S_{ADHE}=32/5=6,4` `(cm^2)`