Đáp án + giải thích các bước giải:

Nhân hai vế bất đẳng thức với `2(ab+bc+ca)`, bất đẳng thức tương đương với:

`(2(ab+bc+ca))/(b(b+a))+(2(ab+bc+ca))/(c(c+b))+(2(ab+bc+ca))/(a(a+c))>=9`

`->(ba+bc+ab+ac+bc+ac)/(b(b+a))+(bc+ca+ab+bc+ab+ac)/(c(c+b))+(ab+ac+ac+bc+ab+bc)/(a(a+c))>=9`

`->(b(a+c)+a(b+c)+c(a+b))/(b(b+a))+(c(a+b)+b(a+c)+a(b+c))/(c(c+b))+(a(b+c)+c(a+b)+b(a+c))/(a(a+c))>=9`

`->(a+c)/(b+a)+(a(b+c))/(b(b+a))+c/b+(a+b)/(c+b)+(b(a+c))/(c(c+b))+a/c+(b+c)/(a+c)+(c(a+b))/(a(a+c))+b/a>=9`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`(a+c)/(b+a)+(a+b)/(c+b)+(b+c)/(a+c)>=3`

`(a(b+c))/(b(b+a))+(b(a+c))/(c(c+b))+(c(a+b))/(a(a+c))>=3`

`c/b+a/c+b/a>=3`

`->(a+c)/(b+a)+(a(b+c))/(b(b+a))+c/b+(a+b)/(c+b)+(b(a+c))/(c(c+b))+a/c+(b+c)/(a+c)+(c(a+b))/(a(a+c))+b/a>=9`

`->đpcm`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`

Giải thích các bước giải:

Bất đẳng thức tương đương với:

$$\frac{c(a+b)+ab}{b(b+a)}+\frac{a(b+c)+bc}{c(c+b)}+\frac{b(c+a)+ca}{a(a+c)} \ge \frac{9}{2}$$

$$⇔\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \ge \frac{9}{2}$$

$$⇔\frac{c+b}{b}+\frac{b+a}{a}+\frac{a+c}{c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \ge \frac{15}{2}$$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$:

$$\frac{a+b}{4a}+\frac{a}{a+b} \ge 1$$

$$\frac{b+c}{4b}+\frac{b}{b+c} \ge 1$$

$$\frac{a+c}{4c}+\frac{c}{c+a} \ge 1$$

Do đó: $$\frac{a+b}{4a}+\frac{a}{a+b} +\frac{b+c}{4b}+\frac{b}{b+c} +\frac{a+c}{4c}+\frac{c}{c+a} \ge 3$$

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức $AM-GM$:

$$\frac{3}{4}(\frac{a+b}{a}+\frac{b+c}{b}+\frac{c+a}{c})+\frac{3}{4}(3+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}) \ge \frac{9}{2}$$  

Cộng hai vế lại với nhau và ta thu được điều phải chứng minh.