Đáp án:

$d(B;(MAC)) = \dfrac12$ 

Giải thích các bước giải:

Đặt $AB = BC = CD = DA = x\quad (x >0)$

$\Rightarrow AC = BD = x\sqrt2$

Gọi $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow \begin{cases}SO\perp (ABCD)\\OA = OB = OC = OD = \dfrac{x\sqrt2}{2}\end{cases}$

Xét $\triangle SBD$ có:

$SB = SD$ (hình chóp đều)

$SB\perp SD\quad (gt)$

$\Rightarrow \triangle SBD$ vuông cân tại $S$

$\Rightarrow SO = OB = OD = \dfrac{x\sqrt2}{2}$

Khi đó:

$\quad V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SO$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt2}{6} = \dfrac13\cdot x^2\cdot \dfrac{x\sqrt2}{2}$

$\Leftrightarrow x^3 = 1$

$\Leftrightarrow x = 1$

$\Rightarrow SO = OB = OD = \dfrac{\sqrt2}{2}$

$\Rightarrow SB = SD = 1$

$\Rightarrow SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$

$\Rightarrow \triangle SAD,\ \triangle SCD$ đều cạnh `1`

$\Rightarrow \begin{cases}AM\perp SD\\CM\perp SD\end{cases}$

$\Rightarrow SD\perp (MAC)$

$\Rightarrow SM\perp (MAC)$

$\Rightarrow SM = d(S;(MAC)) = \dfrac12SD = \dfrac12$

Xét $\triangle SBD$ có:

$\begin{cases}SM = MD = \dfrac12SD\\BO = OD = \dfrac12BD\end{cases}$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình

$\Rightarrow OM//SB$

$\Rightarrow SB//(MAC)$

$\Rightarrow d(B;(MAC)) = d(S;(MAC)) = \dfrac12$

Vậy $d(B;(MAC)) = \dfrac12$