Xét $2$ trường hợp

Với $n\ge 1$ và vì $x\ge 1$ nên nếu $y=z=0$ thì $\sqrt[3]{\overline{xyz}}=\sqrt[3]{100}\notin \mathbb{N}$. Lại có $(x+y+z)^{4n}\in \mathbb{N}$ nên điều này là vô lý.

Với $y+z\ge 1$ thì $x+y+z\ge 2$ suy ra $(x+y+z)^{4n}\ge 2^4=16>10=\sqrt[3]{1000}>\sqrt[3]{\overline{xyz}}$ 

Điều này là vô lý. Vậy với $n\ge 1$ thì không thỏa mãn.

Trường hợp 2: Với $n=0$ ta được:

$\begin{array}{l} \sqrt[3]{{\overline {xyz} }} = x + y + z\\  \Rightarrow \overline {xyz}  = {\left( {x + y + z} \right)^3}\left( 1 \right) \end{array}$

Mặt khác ta thấy được:

$\begin{array}{l}  \Rightarrow \overline {xyz}  = {\left( {x + y + z} \right)^3}\left( 1 \right)\\  \Rightarrow 64 < \overline {xyz}  < 1000\\  \Leftrightarrow 4 < x + y + z < 10\left( 2 \right) \end{array}$

Dễ chứng minh nếu một số $a\in \mathbb{N}$ thì $a^3$ chia cho $9$ có số dư 0,1,8

Từ đó ta có $(x+y+z)^3$ chia cho $9$ dư $0,1,8$

$\Leftrightarrow \overline{xyz}$ chia cho $9$ dư 0,1,8

Suy ra được $x+y+z$ chia cho $9$ dư 0,1 ,8(3)

Từ (2) và (3) suy ra được $x+y+z=8$ hoặc $x+y+z=9$

Với $x+y+z=8$ thì $\overline{xyz}=8^3=512=(5+1+2)^3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với $x+y+z=9$ thì $\overline{xyz}=9^3=729\ne (7+2+9)^3$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy $\overline{xyz}=512$