`a)`

Vì `ABCD` là hình bình hành

`⇒AB////CD(` tính chất hình bình hành `)`

    `AB=CD(` tính chất hình bình hành `)`

Vì `AB////CD(cmt)`

Mà `E∈AB,F∈CD`

`⇒AE////CF`

Ta có:`AB=AE+EB`

         `CD=CF+FD`

Mà `AB=CD(cmt)`

      `AE=EB(g``t)`

      `CF=FD(g``t)`

`⇒AE=EB=CF=FD`

Xét tứ giác `AECF` có:

       `AE=CF(cmt)`

       `AE////CF(cmt)`

`⇒` tứ giác `AECF` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)`

`⇒AF////EC(` tính chất hình bình hành `)`

Mà `M∈AF,N∈EC`

`⇒AM////EN`

Xét `ΔABM` có:

`AM////EN(cmt)`

`AE=EB(g``t)`

`⇒MN=NB(1)`

Vì `AF////EC(cmt)`

Mà `M∈AF,N∈EC`

`⇒MF////NC`

Xét `ΔCDN` có:

`MF////NC(cmt)`

`CF=FD(g``t)`

`⇒DM=MN(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒DM=MN=NB(đpcm)`

`b)`

Gọi `AC∩EF={O}`

Vì `AECF` là hình bình hành

`⇒OE=OF(` tính chất hình bình hành `)`

Vì `AF////EC(cmt)`

`⇒hat{F_1}=hat{E_1}(2` góc so le trong `)`

Xét `ΔOMF` và `ΔONE` có:

         `hat{F_1}=hat{E_1}(cmt)`

            `OF=OE(cmt)`

   `hat{O_1}=hat{O_2}(2` góc đối đỉnh `)`

`⇒ΔOMF=ΔONE(g.c.g)`

`⇒MF=NE(2` cạnh tương ứng `)`

Vì `AF////EC(cmt)`

Mà `M∈AF,N∈EC`

`⇒MF////NE`

Xét tứ giác `EMFN` có:

     `MF////NE(cmt)`

     `MF=NE(cmt)`

`⇒` tứ giác `EMFN` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)`

`⇒` đoạn `EF` đi qua trung điểm`O` của `MN(đpcm)`

`c)`

Vì `AECF` là hình bình hành

`⇒O` là trung điểm của `AC(` tính chất hình bình hành `)`

`⇒DO` là đường trung tuyến ứng với cạnh `AC`

Vì `F` là trung điểm của `CD`

`⇒AF` là đường trung tuyến ứng với cạnh `CD`

Xét `ΔADC` có:

`DO` là đường trung tuyến ứng với cạnh `AC(cmt)`

`AF` là đường trung tuyến ứng với cạnh `CD(cmt)`

`DO∩AF={M}`

`⇒M` là trọng tâm của `ΔADC(đpcm)`