$\\$

`a,`

Xét `ΔBAC` và `ΔDAC` có :

`hat{BAC}=hat{DAC}=90^o` (gt)

`AB=AD` (Do `A` là trung điểm của `BD`)

`AC` chung

`-> ΔBAC = ΔDAC` (cạnh - góc - cạnh)

`->hat{BCA}=hat{DCA}` (2 góc tương ứng)

hay `CA` là tia phân giác của `hat{BCD}`

$\\$

`b,`

Xét `ΔIFC` và `ΔIEC` có :

`hat{IFC}=hat{IEC}=90^o` (gt)

`IC` chung

`hat{ICF}=hat{ICE}` (Do `CA` là tia phân giác của `hat{BCD}`)

`-> ΔIFC = ΔIEC` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> CF = CE` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔCEF` cân tại `C`

`->hat{CEF}=(180^o - hat{C})/2` (1)

Do `ΔBAC=ΔDAC` (cmt)

`->BC=DC` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔBCD` cân tại `C`

`->hat{CDB}=(180^o - hat{C})/2` (2)

Từ (1), (2)

`->hat{CEF}=hat{CDB}(=(180^o - hat{C})/2)`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ EF//DB$

$\\$

`c,`

Do `ΔIFC = ΔIEC` (cmt)

`-> IE = IF` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔIFB` có :

`hat{IFB}=90^o` (gt)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`IB` là cạnh lớn nhất

`-> IF < IB`

mà `IE=IF` (cmt)

`-> IE < IB`

$\\$

`d,`

Giả sử `ΔBCD` đều

`->hat{BCD}=60^o` 

hay `hat{FCE}=60^o`

Có : `hat{CEF}=(180^o - hat{FCE})/2` (cmt)

`->hat{CEF}=(180^o - 60^o)/2`

`->hat{CEF}=120^o/2`

`->hat{CEF}=60^o`

Có : `hat{CEF}+hat{FEB}=90^o` (Do `BE` là đường cao)

`->hat{FEB}=90^o - hat{CEF}`

`->hat{FEB}=90^o -60^o`

`->hat{FEB}=30^o` (*)

Có : `hat{FBE}+hat{BCE}=90^o` (Do `BE` là đường cao)

`->hat{FBE}=90^o - hat{BCE}`

`->hat{FBE}=90^o -60^o`

`->hat{FBE}=30^o` (**)

Từ (*), (**)

`->hat{FEB}=hat{FBE} (=60^o`)

`-> ΔBEF` cân tại `F`

Vậy `ΔBCD` đều thì `ΔBEF` cân tại `F`