Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có $M$ là trung điểm của $AB,N$ là trung điểm của $AC$

`=>MN` là đường trung bình `Delta ABC`

`=>MN` song song `PC` (1)

Lại có $M$ là trung điểm của $AB,P$ là trung điểm của $BC$

`=>MP` là đường trung bình `Delta ABC`

`=>MP` song song `NC` (2)

Từ (1), (2) `=>MNCP` là hình bình hành.

 b) Nối `P,N` ta được `MNBP` là hình bình hành.

`=>BP=MN` do `NM=ND=>BP=ND`.

Xét `Delta MBP,DeltaNCD` có:

`hat(MPB)=hat(DNC)` (sole trong)

`BP=ND` (cmt)

`MP=NC` (theo a)

`=>Delta MBP=Delta DNC (c.g.c)`

`=>hat(BMP)=hat(NCD) ` (hai góc ở vị trí sole trong)

`=>BM` song song `CD`.

`=>BCDM` là hình bình hành.

c) Do `BCDM` là hình bình hành có giao điểm hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà `BI` đi qua giao hai đường chéo ấy.

`=>BI` đi qua trung điểm cạnh `MC.`

`=>E` là trực tâm `Delta BMC`

d) Do `I` là trực tâm `Delta BMC`

`=>IP=1/3 MP` do $MP=NC=AN$

`=>IP=1/3 NC = 1/3 AN`

Từ đó dẫn tới `IP=1/6 AC`