$ABCD$ là hình thang có `\hat{A}=\hat{B}=90°`

`=>\hat{A}+\hat{B}=180°`

`=>\hat{A};\hat{B}` là hai góc trong cùng phía bù nhau

`=>AD`//$BC$

$\quad AB\perp AD$ $(1)$

$M$ là trung điểm $AB$

Gọi $I$ là trung điểm $CD$

 `=>MI` là đường trung bình hình thang $ABCD$

`=>MI`//$AB$//$DC$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>AB`$\perp MI$ $(3)$

$\\$

Vì $MI$ là trung tuyến $∆CMD$ vuông tại $M$

`=>MI=ID=1/2CD` 

`=>MI` là bán kính của đường tròn đường kính $CD$ $(4)$

Từ `(3);(4)=>AB` là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $CD$ (đpcm)

$\\$

`b)` Vẽ $ME\perp CD$ tại $E$

Câu a ta có: `MI=ID`

`=>∆MID` cân tại $I$

`=>\hat{IMD}=\hat{IDM}`

Vì $AD$//$BC$

`=>\hat{ADM}=\hat{IMD}` (hai góc so le trong)

`=>hat{ADM}=\hat{IDM}=\hat{EDM}`

$\\$

Xét $∆EDM$ và $∆ADM$ có:

`\qquad \hat{MED}=\hat{MAD}=90°`

`\qquad MD` là cạnh chung 

`\qquad \hat{EDM}=\hat{ADM}` (c/m trên)

`=>∆EDM=∆ADM` (cạnh huyền -góc nhọn)

`=>ME=MA=1/ 2 AB`

`=>ME` là bán kính của đường tròn đường kính $AB$

Mà $CD\perp ME$ tại $E$

`=>CD` là tiếp tuyến tại $E$ của đường tròn đường kính $AB$

$\\$

`c)` Xét  $∆MEC$ và $∆MBC$ có:

`\qquad \hat{MEC}=\hat{MBC}=90°`

`\qquad MC` là cạnh chung 

`\qquad ME=MB=1/2AB`

`=>∆MEC=∆MBC` (cạnh huyền -cạnh góc vuông)

`=>EC=BC`

$\\$

Vì $∆EDM=∆ADM$ (câu b)

`=>ED=AD`

$\\$

Xét $∆CMD$ vuông tại $M$ có $ME\perp CD$

`=>EC.ED=ME^2` (hệ thức lượng)

`=>BC.AD=(1/2AB)^2=(1/ 2 . 2a)^2=a^2`

Vậy $BC.AD=a^2$