`a)`$G$ là giao điểm hai trung tuyến $BD;CE$

`=>E;D` lần lượt là trung điểm $AB;AC$

`=>BE={AB}/2; CD={AC}/2`

`\qquad G` là trọng tâm $∆ABC$

`=>BG=2GD; CG=2GE`

$\\$

$BD\perp CE$ tại $G$ (gt)

`=>∆BGE` vuông tại $G$

`=>BE^2=GE^2+BG^2` (định lý Pytago)

`=>({AB}/2)^2=GE^2+BG^2`

`=>AB^2=4GE^2+4BG^2=(2GE)^2+4BG^2`

`=CG^2+4BG^2`

$\\$

Xét $∆CDG$ vuông tại $G$

`=>CD^2=CG^2+GD^2` (định lý Pytago)

`=>({AC}/2)^2=CG^2+GD^2`

`=>AC^2=4CG^2+4GD^2=4CG^2+(2GD)^2`

`=4CG^2+BG^2`

$\\$

`=>AB^2+AC^2=CG^2+4BG^2+4CG^2+BG^2`

`=5(BG^2+CG^2)` $(1)$

$\\$

Xét $∆BCG$ vuông tại $G$

`=>BC^2=BG^2+CG^2` $(2)$ (định lý Pytago)

$\\$

Từ `(1);(2)=>AB^2+AC^2=5BC^2` (đpcm)

$\\$

`b)` Vẽ $AH\perp BC$ tại $H$; $GK\perp BC$ tại $K$

$\\$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

`=>AM` là trung tuyến $∆ABC$

`=>{GM}/{AM}=1/ 3`

$\\$

Ta có $GM$ là trung tuyến $∆BCG$ vuông tại $G$

`=>GM={BC}/2` (tính chất trung tuyến ∆ vuông)

$\\$

+) Nếu $M≡K$

`=>GM=GK`

+) Nếu $M\ne K$

`=>GM>GK` (đường xiên > đường vuông góc)

`=>GM\ge GK`

`=>{BC}/2\ge GK` $(3)$

$\\$

Xét $∆AMH$ có $GK$//$AH$ (cùng $\perp BC$)

`=>{GK}/{AH}={GM}/{AM}=1/ 3` (hệ quả định lý Talet)

`=>GK=1/3AH` $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)=>{BC}/2\ge 1/3AH`

`=>2 . {BC}/2\ge 2/3 AH=>BC\ge 2/3AH` 

$\\$

Xét $∆ABH$ vuông tại $H$

`=> cotB={BH}/{AH}`

Xét $∆ACH$ vuông tại $H$

`=>cotC={CH}/{AH}`

`=>cotB+cotC={BH}/{AH}+{CH}/{AH}={BH+CH}/{AH}={BC}/{AH}\ge {2/3 AH}/{AH}=2/3`

Dấu "=" xảy ra khi $M≡K$

`=>GM`$\perp BC$

Mà $A;G;M$ thẳng hàng

`=>AM`$\perp BC$

`=>AM` vừa đường trung tuyến và đường cao $∆ABC$ 

`=>∆ABC` cân tại $A$

$\\$

Vậy `cotB+cotC\ge 2/3` (đpcm)

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Một cách để tham khảo

a) $AB = 2BE; AC = 2CD; BC = 2DE$. Ta có:

$ AB^{2} + AC^{2} = 4BE^{2} + 4CD^{2}$

$ = 4(GB^{2} + GE^{2}) + 4(GC^{2} + GD^{2})$

$ = 4(GB^{2} + GC^{2}) + 4(GD^{2} + GE^{2})$

$ = 4BC^{2} + 4DE^{2} = 4BC^{2} + BC^{2} = 5BC^{2}(*)(đpcm)$

 b) Vẽ đường cao $AH$ do $B,C$ nhọn $ H $ ở giữa $B;C$

Áp dụng BĐT $2(a^{2} + b^{2}) >= (a + b)^{2}$ ta có:

$ 2BH^{2} + 2CH^{2} >= (BH + CH)^{2} = BC^{2}$

$ <=> 2(AB^{2} - AH^{2}) + 2(AC^{2} - AH^{2}) >= BC^{2}$

$ <=> 2(AB^{2} + AC^{2}) - 4AH^{2} >= BC^{2}$

$ <=> 10BC^{2}  - 4AH^{2} >= BC^{2}$ (thay $(*)$ ở câu a)

$ <=> 9BC^{2} >= 4AH^{2} <=> \dfrac{BC}{AH} >= \dfrac{2}{3}$

Do đó $ : cotB + cotC = \dfrac{BH}{AH} + \dfrac{CH}{AH}$

$ = \dfrac{BH + CH}{AH} = \dfrac{BC}{AH} >= \dfrac{2}{3} (đpcm)$

Dấu $'=' <=> AB = AC <=> $ tam giác $ABC$ cân $A$