Đáp án:

$A = x + y = 0$

Giải thích các bước giải:

Ta có : $( x + \sqrt[]{x^{2}+2013})( y + \sqrt[]{y^{2}+2013} ) = 2013$

⇒ $( x - \sqrt[]{x^{2}+2013} )( x + \sqrt[]{x^{2}+2013} )( y + \sqrt[]{y^{2}+2013} ) = 2013( x - \sqrt[]{x^{2}+2013} )$

⇔ $( x^{2} - x^{2} - 2013 )( y + \sqrt[]{y^{2}+2013} ) = 2013( x - \sqrt[]{x^{2}+2013} )$

⇔ $-2013( y + \sqrt[]{y^{2}+2013} ) = 2013( x - \sqrt[]{x^{2}+2013} )$

⇔ $y + \sqrt[]{y^{2}+2013} = - x + \sqrt[]{x^{2}+2013} (1)$

Lai co : $( x + \sqrt[]{x^{2}+2013})( y + \sqrt[]{y^{2}+2013} ) = 2013$

⇒ $( x + \sqrt[]{x^{2}+2013} )( y + \sqrt[]{y^{2}+2013} )( y - \sqrt[]{y^{2}+2013} ) = 2013( y - \sqrt[]{y^{2}+2013} )$

⇔ $( x + \sqrt[]{x^{2}+2013} )( y^{2} - y^{2} - 2013 ) = 2013( y - \sqrt[]{y^{2}+2013} )$

⇔ $-2013( x + \sqrt[]{x^{2}+2013} = 2013( y - \sqrt[]{y^{2}+2013} )$

⇔ $x + \sqrt[]{x^{2} + 2013} = - y + \sqrt[]{y^{2}+2013}$

⇔ $- y + \sqrt[]{y^{2}+2013} = x + \sqrt[]{x^{2}+2013} (2)$

Ta lấy (1) + (2) ⇒ $2\sqrt[]{y^{2}+2013} = 2\sqrt[]{x^{2}+2013}$

⇔ $y^{2} + 2013 = x^{2} + 2013$

⇔ $( x - y )( x + y ) = 0$

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=y\\x+y=0\end{array} \right.\) 

+) $x = y$

⇒ $( x + \sqrt[]{x^{2}+2013} )^{2} = 2013$

⇔ $x + \sqrt[]{x^{2}+2013} = ±\sqrt[]{2013}$

Với $x + \sqrt[]{x^{2}+2013} = \sqrt[]{2013}$

⇔ $\sqrt[]{x^{2}+2013} = \sqrt[]{2013} - x$ ( ĐK : $x ≤ \sqrt[]{2013}$ )

⇔ $x^{2} + 2013 = 2013 - 2\sqrt[]{2013}x + x^{2}$

⇔ $x = 0 ⇒ x = y = 0$

⇒ $x + y = 0$

Với $x + \sqrt[]{x^{2}+2013} = -\sqrt[]{2013}$

⇔ $\sqrt[]{x^{2}+2013} = - \sqrt[]{2013} - x$ ( ĐK : $x ≤ -\sqrt[]{2013}$ )

⇔ $x^{2} + 2013 = 2013 + 2\sqrt[]{2013}x + x^{2}$

⇔ $x = 0$ (loại)

Kết hợp tất cả các trường hợp trên ⇒ $A = x + y = 0$