a/ Để hàm số $y=(m-3)x+2+m$ nghịch biến thì $a<0$ hay $m-3<0$

$↔m<3$

Vậy $m<3$ thì hàm số nghịch biến

b/ Đồ thị hàm số $y=(m-3)x+2+m$ đi qua điểm $(1;1)$

$→1=(m-3).1+2+m\\⇔1=m-3+2+m\\⇔1=2m-1\\⇔2=2m\\⇔1=m$

Vậy $m=1$ thì đồ thị hàm số $y=(m-3)x+2+m$ đi qua điểm $(1;1)$

c/ Gọi gốc tọa độ là $O(0;0)$, đồ thị hàm số $y=(m-3)x+2+m$ giao trục hoành, trục tung tại $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$

Đồ thị hàm số $y=(m-3)x+2+m$ giao trục hoành tại điểm $A(x_A;y_A)$

$→0=(m-3)x_A+2+m\\↔-m-2=(m-3)x_A\\↔-\dfrac{m+2}{m-3}=x_A\\→OA=\left|-\dfrac{m+2}{m-3}\right|(m\ne 3)$

Đồ thị hàm số $y=(m-3)x+2+m$ giao trục tung tại điểm $B(x_B;y_B)$

$→y_B=(m-3).0+2+m\\↔y_B=m+2\\→OB=|m+2|$

Vì $ΔOAB$ vuông tại $O$

$→S_{ΔOAB}=\dfrac{1}{2}.OA.OB\\↔\dfrac{1}{2}.\left|-\dfrac{m+2}{m-3}\right|.|m+2|=3\\↔\left|-\dfrac{(m+2)^2}{m-3}\right|=6$

TH1: $-\dfrac{(m+2)^2}{m-3}=6$

$↔m^2+4m+4=-6m+18\\↔m^2+10m-14=0\\↔m^2+10m+25-39=0\\↔(m+5)^2-(\sqrt{39})^2=0\\↔(m+5-\sqrt{39})(m+5+\sqrt{39})=0\\↔\left[\begin{array}{1}m+5-\sqrt{39}=0\\m+5+\sqrt{39}=0\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}m=-5+\sqrt{39}(TM)\\m=-5-\sqrt{39}(TM)\end{array}\right.$

TH2: $-\dfrac{(m+2)^2}{m-3}=-6\\↔m^2+4m+4=6m-18\\↔m^2-2m+22=0\\↔m^2-2m+1+21=0\\↔(m-1)^2+21=0(*)$

Ta có: $(m-1)^2\ge 0$

$↔(m-1)^2+21\ge 21\\→(m-1)^2+21>0$

mà $(m-1)^2+21=0$

$→$ Phương trình $(*)$ vô nghiệm

Từ TH1,TH2; suy ra: $m∈\{-5+\sqrt{39};-5-\sqrt{39}\}$

Vậy $m∈\{-5+\sqrt{39};-5-\sqrt{39}\}$ thì đồ thị hàm số $y=(m-2)x+2+m$ cắt 2 trục tọa độ thành tam giác có $S=3$ (đvdt)