a)

Do $IQ//BC$

$\Rightarrow \widehat{IQA}=\widehat{CBA}=60{}^\circ $(đồng vị)

Tứ giác $APIQ$ có:

$\begin{cases}IP//AQ\\\widehat{IQA}=\widehat{PAQ}\,\,\,\left( =60{}^\circ  \right)\end{cases}$

$\Rightarrow APIQ$ là hình thang cân

Tương tự, $CRIP$, $BQIR$ cũng là hình thang cân

b)

Do $APIQ$ là hình thang cân

$\Rightarrow \widehat{QIP}+\widehat{IQA}=180{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{QIP}=180{}^\circ -\widehat{IQA}=180{}^\circ -60{}^\circ =120{}^\circ $

Tương tự, $\widehat{PIR}=\widehat{RIQ}=120{}^\circ $

Vậy $\widehat{QIP}=\widehat{PIR}=\widehat{RIQ}=120{}^\circ $

c)

$APIQ$ là hình thang cân $\Rightarrow IA=PQ$

$CRIP$ là hình thang cân $\Rightarrow IC=RP$

$BQIR$ là hình thang cân $\Rightarrow IB=QR$

Để $\Delta PQR$ đều thì $PQ=RP=QR$

$\Rightarrow IA=IB=IC$

$\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

Mà do $\Delta ABC$ đều

Nên $I$ cũng là trọng tâm, trực tâm $\Delta ABC$

Kéo dài $AI$ cắt $BC$ tại $H$

$\Rightarrow AI=\dfrac{2}{3}AH=\dfrac{2}{3}\sqrt{A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow PQ=RP=QR=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow $ Chu vi $\Delta PQR=a\sqrt{3}$