Bài `1)`

`a)` Xét `ΔAMD` và `ΔBMC` có:

`AM = MB` (gt)

`MD = MC` (gt)

`∠DMA = ∠CMB` (`2` góc đối đỉnh)

`⇒ ΔAMD = ΔBMC`  `(c . g . c)`

`⇒ AD = BC` (`2` cạnh tương ứng)

`b)` Xét `ΔANE` và `ΔCNB` có:

`AN = NC` (gt)

`BN = NE` (gt)

`∠ANE = ∠CNB` (`2` góc đối đỉnh)

`⇒ ΔANE = ΔCNB` `(c . g . c)`

`⇒ AE = BC` (`2` cạnh tương ứng)

`c)` Ta có: `ΔANE = ΔCNB` `(cmt)`

`⇒ ∠NBC = ∠NEA` (`2` góc tương ứng)

Mà `2` góc này ở vị trí so le trong

`⇒ AE` // `BC`.    `(1)`

Vì `ΔAMD = ΔBMC` `(cmt)`

`⇒ ∠ADM = ∠MCB` (`2` góc tương ứng)

Mà `2` góc này ở vị trí so le trong

`⇒ AD` // `BC`. Mà `AE` // `BC`  (theo `(1)` )

`⇒ A, D, E` thẳng hàng.           `(***)`

`ΔAMD = ΔBMC`

`⇒ AD = BC` (`2` cạnh tương ứng)  `(*)`

`ΔANE = ΔCNB`

`⇒ AE = BC` (`2` cạnh tương ứng)     `(**)`

Từ `(*)`, `(**)`, `(***)` suy ra `AD = AE`

`⇒ A` là trung điểm của `DE`.

Bài `2`:

`a)` Xét `ΔAIC` và `ΔDIB` có:

`AI = ID` (gt)

`BI = IC` (gt)

`∠AIC = ∠DIB` (`2` góc đồi đỉnh)

`⇒ ΔAIC = ΔDIB` `(c . g . c)`

`⇒ AC = BD` (`2` cạnh tương ứng)

`b)` Vì `AE = AC` (gt)

`AC = BD` `(cmt)`

`⇒ AE = BD`.

`c)` `ΔAIC = ΔDIB`

`⇒ ∠IAC = ∠IDB` (`2` góc tương ứng)

Mà `2` góc này ở vị trí so le trong

`⇒ AC // BD`.

Mà `A` là trung điểm của `EC`.

`⇒ EA // BD`.

`⇒ ∠AEF = ∠FDB` (`2` góc so le trong)

Và `∠EAB = ∠ABD` (`2` góc so le trong)

Xét `ΔFAE` và `ΔFBD` có:

`AE = BD` `(cmt)`

`∠FAE = ∠FBD` `(cmt)`

`∠FEA = ∠FDB` `(cmt)`

`⇒ ΔFAE = ΔFBD` `(g . c . g)

`⇒ FA = FB` (`2` cạnh tương ứng)

Và `FE = FD` (`2` cạnh tương ứng)

`⇒ F` là trung điểm của `AB` và `ED`.