Đáp án:

 chứng minh

Giải thích các bước giải:

a. Vì M là trung điểm AB ; N là trung điểm AC

⇒ MN là đường trung bình ΔABC

⇒ $MN // BC$

⇒ $BMNC$ là hình thang

Vì ΔABC cân tại A ⇒ $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

hay $\widehat{MBC} = \widehat{NCB}$

⇒ $BMNC$ là hình thang cân

b. Vì N là trung điểm AC ; P là trung điểm BC

⇒ NP là đường trung bình ΔABC

⇒ $NP // AM$

hay $PQ // AM$

⇒ $PMAQ$ là hình thang 

c. Vì NP là đường trung bình ΔABC

⇒ $NP = \frac{AB}{2}$

⇔ $2NP = AB$

⇔ $NP + NQ = AB$ ( do $NP = NQ$ tính chất đối xứng )

⇔ $PQ = AB$

Mà $PQ // AM ⇔ PQ // AB$

⇒ $ABPQ$ là hình bình hành

d. Vì $ABPQ$ là hình bình hành

⇒ $AQ = BP ; AQ // BP$

mà $BP = PC$

⇒ $AQ = PC ; AQ // PC$

⇒ $APCQ$ là hình bình hành

Ta có : $AP ⊥ PC ; AQ // PC$

⇒ $AQ ⊥ AP$

⇒ $\widehat{QAP} = \widehat{APC} = 90$ độ

Vì $AP ⊥ PC$

Mà $AP // QC$ ( do $APCQ$ là hình bình hành )

⇒ $QC ⊥ PC$

⇒ $\widehat{PCQ} = 90$ độ

⇒ $\widehat{QAP} = \widehat{APC} = \widehat{PCQ} = 90$ độ

⇒ $APCQ$ là hình chữ nhật