Đáp án + giải thích các bước giải:
1/ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`**)x^4+y^4>=1/2 . (x^2+y^2)^2>=1/2 . [1/2 . (x+y)^2]^2=1/8 (x+y)^4`
`**)1/x^4+1/y^4>=2/(x^2y^2)>=2/((x+y)^4/16)=32/(x+y)^4`
`->P>=[(x+y)^4/8 +z^4][32/(x+y)^4 +1/z^4]==4 + (32z^4)/(x+y)^4 +1/8 (x+y)^4/z^4 + 1`
Đặt `(x+y)^4/z^4=t->t<=1` vì `x+y<=z->(x+y)/z<=1`
`->P>=5+32/t + t/8=5+t/8+1/(8t)+255/(8t)>=5+2\sqrt{t/8 . 1/(8t)}+255/(8.1)=297/8`
Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z/2`
2/ Ta sẽ chứng minh: `P>=1/x+1/y+1/z`
`->x/y^2+y/z^2+z/x^2>=x/x^2+y/y^2+z/z^2`
`->x/y^2+y/z^2+z/x^2-x/x^2-y/y^2-z/z^2>=0`
`->(x-y)/y^2+(y-z)/z^2+(z-x)/x^2>=0`
`->(x-y)/y^2+(y-z)/z^2-(x-y+y-z)/x^2>=0`
`->(x-y)/y^2-(x-y)/x^2 +(y-z)/z^2-(y-z)/x^2>=0`
Giả sử `x>=y>=z`, bất đẳng thức trên đúng.
`->P>=1/x+1/y+1/z=[xyz(1/x+1/y+1/z) ]/(x+y+z)=(xy+yz+zx)/(x+y+z)`
Áp dụng bất đẳng thức `(ab+bc+ca)^2>=3abc(a+b+c)`
`->P>=\sqrt{3xyz(x+y+z)}/(x+y+z)=\sqrt{(3xyz)/(x+y+z)}=\sqrt{3}`
Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z=\sqrt{3}`
3/ `(a+b+c)^3/(27abc)+(6(ab+bc+ca))/(a+b+c)^2>=3`
$\to\dfrac{(a+b+c)^3}{9abc}+\dfrac{18(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\ge9 \\\to \dfrac{3}{\dfrac{3a}{a+b+c}.\dfrac{3b}{a+b+c}.\dfrac{3c}{a+b+c}}+2\bigg(\dfrac{3a}{a+b+c} . \dfrac{3b}{a+b+c}+\dfrac{3b}{a+b+c} . \dfrac{3c}{a+b+c}+\dfrac{3c}{a+b+c} . \dfrac{3a}{a+b+c} \bigg)\ge 9$
Đặt `\frac{3a}{a+b+c}=x;\frac{3b}{a+b+c}=y;\frac{3c}{a+b+c}=z\to x+y+z=3`
Ta cần chứng minh:
$\dfrac{3}{xyz}+2(xy+yz+zx)\ge 9 \\\to \dfrac{3}{xyz}+(x+y+z)^2\ge x^2+y^2+z^2+9$
mà `(x+y+z)^2=3^2=9` nên ta cần chứng minh:
$\dfrac{3}{xyz}\ge x^2+y^2+z^2 \\\to xyz(x^2+y^2+z^2)\le3$
Áp dụng bất đẳng thức `3abc(a+b+c)<=(ab+bc+ca)^2`
$\to xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\dfrac{1}{3}xyz(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \le \dfrac{1}{9}(xy+yz+zx)^2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
$xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\dfrac{1}{3}xyz(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \le \dfrac{1}{9}(xy+yz+zx)^2(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \le \dfrac{1}{9}\bigg[\dfrac{2(xy+yz+zx)+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}\bigg]^3=\bigg[\dfrac{(x+y+z)^2}{3}\bigg]^3=3$
`->đpcm`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`
4/ Đặt `a=x/(y+z);b=y/(z+x)+z/(x+y)`
`->P=(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z-2(x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y))=y/x+z/x+z/y+x/y+x/z+y/z-2(x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y))`
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu:
`1/y+1/z>=4/(y+z)`
`->x/y+x/z>=4 x/(y+z)`
Tương tự, có:
`x/y+x/z+y/z+y/x+z/x+z/y>=4 (x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y) )`
`->P>=4(x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)) - 2(x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y))=2(x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y))`
Mà theo bất đẳng thức Nesbitt, có:
`x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)>=3/2`
`->2(x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y))>=3`
`->P>=3`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=1/2`
5/ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`\sqrt{2}(x+y)=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}`
`->2(x+y)^2=x+y+2+2\sqrt{(x+1)(y+1)} <= x+y+2+(x+1+y+1)=2(x+y+2)`
`->2(x+y)^2-2(x+y)-4<=0`
`->(x+y)^2-(x+y)-2<=0`
`->P^2-P-2<=0`
Giải ra sẽ có `-1<=P<=2`
Tức GTLN của `P` là `2` đạt khi `x=y=1 `
Nhưng rõ ràng `-1` không phải GTNN của `P` vì `P>0`
Ta áp dụng bất đẳng thức `\sqrt{a}+\sqrt{b}>=\sqrt{a+b}`
`->\sqrt{2}(x+y)=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}>=\sqrt{x+y+2}`
`->2(x+y)^2>=x+y+2`
`->2(x+y)^2-(x+y)-2>=0`
`->2P^2-P-2>=0`
Giải ra sẽ có `P>=(1+\sqrt{17})/4 `
Dấu bằng xảy ra khi `(x;y)=(-1;(5+\sqrt{17})/4)` và hoán vị
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưLớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!
Nguồn : ADMIN :))Xem thêm tại https://loigiaisgk.com/cau-hoi or https://giaibtsgk.com/cau-hoi
Copyright © 2021 HOCTAPSGK