`a,` `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `⇒\hat{BAC}=90^o` Hay `\hat{EAF}=90^o`

`HE\botAB` $(gt)$ `⇒\hat{HEA}=90^o`

`HF\botAC` $(gt)$ `⇒\hat{HFA}=90^o`

Áp dụng định lý Pytago trong `ΔABC` vuồn tại `A` `$(gt)$ có:

`BC^2=AB^2+AC^2`

Hay `BC^2=3^2+4^2`

`⇔BC^2=9+16=25`

`⇒BC=5` `(cm)` `\text{(vì}` `BC>0)`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `,AH\botBC` $(gt)$ có:

`AH.BC=AB.AC`

Hay `AH.5=3.4`

`⇔AH.5=12`

`⇔AH=2,4` `(cm)`

Xét tứ giác `AEHF` có:

`\hat{EAF}=90^o` `(cmt)

`\hat{HEA}=90^o` `(cmt)`

`\hat{HFA}=90^o` `(cmt)`

`⇒` Tứ giác `AEHF` là hình chữ nhật

`⇒AH=EF=2,4` `cm`

`b,` `AH\botBC` $(gt)$ `⇒\hat{AHB}=\hat{AHC}=90^o`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHB` vuông tại `H` `(\hat{AHB}=90^o),HE\botAB` $(gt)$ có: `AH^2=AE.AB`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHC` vuông tại `H` `(\hat{AHC}=90^o),HF\botAC` $(gt)$ có: `AH^2=AF.AC`

`⇒AE.AB=AF.AC`

`c,` Gọi giao điểm của `AO` và `EF` là `I`

Xét `ΔABC` có:

`AO` là trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC` (`O` là trung điểm của `BC`)

`⇒OA=OB=OC=1/2BC`

Xét `ΔOAC` có: `OA=OC` `(cmt)`

`⇒ΔOAC` cân tại `O`

`⇒\hat{OAC}=\hat{OCA}` Hay `\hat{IAF}=\hat{ACB}`

Có `AE.AB=AF.AC` `(cmt)`

`⇒{AE}/{AC}={AF}/{AB}`

Xét `ΔAEF` và `ΔACB` có:

`{AE}/{AC}={AF}/{AB}` `(cmt)`

`\hat{BAC}`: góc chung

`⇒ΔAEF`$\backsim$`ΔACB` `(c.g.c)`

`⇒\hat{AFE}=\hat{ABC}` (hai góc tương ứng) 

Hay `\hat{AFI}=\hat{ABC}` 

Xét `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ có:

`\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^o` (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Mà `\hat{IAF}=\hat{ACB}` `(cmt)` `,\hat{AFI}=\hat{ABC}` `(cmt)`

`⇒\hat{AFI}+\hat{IAF}=90^o`

Xét `ΔAIF` có: `\hat{AFI}+\hat{IAF}=90^o` `(cmt)`

`⇒ΔAIF` vuông tại `I`

`⇒AO\botEF` tại `I`