Đáp án:

Câu 47: $D.\ 3$

Câu 48: $C.\ \left[\begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array}\right.$

Câu 49: $C.\ m > 1$

Giải thích các bước giải:

Câu 47:

$\quad y = x^3 - 3x^2 - mx + 2$

$\Rightarrow y' = 3x^2 - 6x - m$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$

$\Leftrightarrow 9 + 3m > 0$

$\Leftrightarrow m > -3$

Ta có:

$y = y'\cdot \dfrac{x-1}{3} - \left(2 + \dfrac{2m}{3}\right)x + 2 - \dfrac{m}{3}$

$\Rightarrow AB: y = - \left(2+\dfrac{2m}{3}\right)x + 2 - \dfrac m3$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A,B$

Khi đó:

$Ycbt \Leftrightarrow AB//d: y = - 4x$

$\Leftrightarrow \begin{cases}- \left(2 +\dfrac{2m}{3}\right)= -4\\2 -\dfrac m3 \ne 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m = 3\\m \ne 6\end{cases}$

Vậy $m = 3$

Câu 48:

$\quad y = 2x^3 - 3(m+1)x^2 + 6mx$

$\Rightarrow y' = 6x^2 - 6(m+1)x + 6m$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}' > 0$

$\Leftrightarrow 9(m+1)^2 - 36m > 0$

$\Leftrightarrow (m-1)^2 > 0$

$\Leftrightarrow m \ne 1$

Ta có:

$y = y'\cdot \left(\dfrac x3 -\dfrac{m+1}{6}\right) - (m-1)^2x + m^2 +m$

$\Rightarrow AB: y = - (m-1)^2x + m^2 + 1$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A,B$

Khi đó:

$Ycbt \Leftrightarrow AB\perp d: y = x+2$

$\Leftrightarrow - (m-1)^2\cdot 1 = -1$

$\Leftrightarrow (m-1)^2 = 1$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 2\\m = 0\end{array}\right.$ (nhận)

Vậy $m = 0\ \lor\ m = 2$

Câu 49:

$\quad y = x^3 - 3mx^2 + (m-1)x + 2$

$\Rightarrow y' = 3x^2 - 6mx + m -1$

$Ycbt\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}9m^2 - 3(m-1) > 0\\2m > 0\\\dfrac{m-1}{3} > 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}3m^2 - m + 1 > 0\quad \text{(luôn đúng)}\\m > 0\\m > 1\end{cases}$

$\Leftrightarrow m > 1$